TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 574

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Nur teilweise gelöst: b) fehlt

a) Für welche x \in \mathbb{Q} ist die Matrix A singulär?

A = \begin{pmatrix}3 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \\ x & -1 & 0\end{pmatrix}

b) Bestimmen Sie für x = -1 die inverse Matrix A^{-1}.

Hilfreiches[Bearbeiten]

Regel von Sarrus[Bearbeiten, WP]

Für eine 3\times3-Matrix, lässt sich die Determinante wie folgt berechnen:

Schema sarrus-regel.png

Lösungsvorschlag von mnemetz[Bearbeiten]

Eine Matrix, die nicht invertierbar ist, wird singulär genannt. Bei einer solchen ist die Determinante also 0.

Zu zeigen ist nun, für welches x \in \mathbb{Q} die vorliegende Matrix nun singulär ist!

det(A) = 3*1*0 + x*x*x + 1*0*(-1) - 1*1*x - x*0*(-1) - 3*x*(-1) = 0 + x^3 -x -0 + 3*x = x^3 + 2*x

Damit singulär ist, muss gelten:

\begin{align}
x^3 + 2*x &= 0 \\ 
x(x^2 + 2) &= 0 \\
x^2 + 2 &= 0 \\
x^2 &= -2 \\
\end{align}

Es gibt kein x \in \mathbb{Q} also Lösung, sondern nur ein x \in \mathbb{C}, daher ist die Matrix A für alle x \in \mathbb{Q} \backslash \{0\} invertierbar!

Anmerkung (mjung): oben hast du bei der Gleichung \begin{align}x(x^2 + 2) &= 0\end{align} einfach das x weggelassen. Das ist aber auch eine Nullstelle, also falls x = 0, ist die Gleichung 0 was die Matrix singulär machen würde. 0 ist Element von Q. In der Lösung hast hast du dann 0 aber weggelassen. So stimmt's auch, nur die letzte Bemerkung ist ein bisschen verwirrend.

Links[Bearbeiten]