TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 148

Man zeige, daß die Funktion $f:ℝ\mathbb{\setminus }\mathbb{\{}\text{7}\mathbb{\}}\to ℝ\mathbb{\setminus }\mathbb{\{}\text{2}\mathbb{\}},y=\frac{2x+1}{x-7}$ bijektiv ist und bestimme ihre Umkehrfunktion.

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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}}

Lösung (wurde vom UE-Leiter vorgerechnet, könnte also evtl. stimmen :-) )

Injektivität

$f(x_1)=f(x_2)⟹x_1=x_2$

$\frac{2x_1+1}{x_1-7}=\frac{2x_2+1}{x_2-7}$

$\begin{array}{ccc}(2x_1+1)(x_2-7)& =& (2x_2+1)(x_1-7)\\ 2x_1{x}_2+x_2-14x_1-7& =& 2x_2{x}_1+x_1-14x_2-7\end{array}$

Kürzen:

$15x_2=15x_1\surd$

Surjektivität

$\mathrm{\forall }y\in ℝ\mathbb{\setminus }\mathbb{\{}\text{2}\mathbb{\}}\mathrm{\exists }x:f(x)=y$

$\begin{array}{ccc}y(x-7)& =& 2x+1\\ yx-7y& =& 2x+1\\ -7y-1& =& 2x-yx\\ -7y-1& =& x(2-y)\end{array}$

$x=\frac{7y+1}{y-2}\in ℝ\mathbb{\setminus }\mathbb{\{}\text{2}\mathbb{\}}\surd$

Injektivität $\wedge$ Surjektivität $\to$ Bijektivität.

Die im Surjektivitätsbeweis gefundene Formel ist gleichzeitig die Umkehrfunktion $f^{-1}()$ von $f()$.

Puh, viel Spaß damit,

--Baccus 05:26, 26. Nov 2006 (CET)

Ergänzung von mathematica4:

Um die Umkehrfunktion $f^{-1}$ einer Funktion f zu bilden, muss man zum Schluss noch einen Variablentausch machen, d.h. x und y vertauschen.

Die Umkehrfunktion lautet also:

$y=\frac{7x+1}{x-2}$