TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 15

Man zeige mittels vollständiger Induktion, dass für die rekursiv definierte Folge $x_0=1$ und $x_{k+1}=x_k+18k+15$ für $k\ge 0$ allgemein gilt:

$x_n=(3n+1{)}^2,$ für alle $n\ge 0$.

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von frunobulax

Induktionsanfang

$n=0:x_0=(3\cdot 0+1{)}^2=1$

Induktionsvorraussetzung

ist somit $x_n=(3n+1{)}^2$

Induktionsschritt

$x_{n+1}=x_n+18n+15$

Wir setzten die Vorrausseztung ein...

$x_{n+1}=(3n+1{)}^2+18n+15=9n^2+24n+16=(3n+4{)}^2=(3(n+1)+1{)}^2$