TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 204

Wieviele natürliche Zahlen n mit $1\le n\le 10^6$ gibt es, die weder durch 2 teilbar, noch Quadratzahlen, noch dritte, noch vierte Potenz einer natürlichen Zahl sind?

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Lösungsvorschlag von mnemetz

$n=10^6$

• $a\in A:$ a ist gerade
• $b\in B:b=x^2$
• $c\in C:c=x^3$
• $d\in D:d=x^4$

D fällt weg, denn irgendwas hoch 4 ist ja auch irgendwas hoch 2:

• $x\ast x\ast x\ast x=x^4$
• $y=x\ast x=x^2$
• $\Rightarrow y^2=x\ast x\ast x\ast x=x^4$

Berechnung der Anzahl der Elemente in Menge A:

die Hälfte aller Zahlen von 1 bis 10^6 ist gerade:

$|A|=10^6/2=500000$

Berechnung der Anzahl der Elemente in Menge B:

$|B|=\sqrt[2]{10^6}=10^3$

Berechnung der Anzahl der Elemente in Menge C:

$|C|=\sqrt[3]{10^6}=10^2$

Berechnung der Anzahl der Elemente in Menge $A\cap B$:

Jede gerade Zahl hoch x ist gerade, jede ungerade Zahl hoch x ist ungerade $\Rightarrow$ die Hälfte aller Zahlen aus B.

$|A\cap B|=\frac{|B|}{2}=\frac{10^3}{2}=500$

Berechnung der Anzahl der Elemente in Menge $B\cap C$:

Welche $x^2$ sind ein $y^3$? Jedes $z^6$ ist ein $x^2$ oder ein $y^3$ $\Rightarrow$: Ermittlung aus dem kgV der Hochzahlen!

$|B\cap C|=\sqrt[6]{10^6}=10^1=10$

Berechnung der Anzahl der Elemente in Menge $A\cap C$:

(Wie bei $A\cap B$)

$|A\cap C|=\frac{|C|}{2}=\frac{10^2}{2}=50$

Berechnung der Anzahl der Elemente in Menge $A\cap B\cap C$: Ist ja wie $A\cap (B\cap C)$ und $B\cap C$ ist ja wie für $x^6$.

$|A\cap B\cap C|=\frac{|B\cap C|}{2}=\frac{10}{2}=5$

Die Anzahl der Elemente im "Universum" ist: $|E|=10^6$

Es ist nun die Anzahl der Elemente die in keiner der Mengen A,B,C liegen gesucht, also $|A^{\prime }\cap B^{\prime }\cap C^{\prime }|$.

Diese lässt sich nun mittels des Inklusions-Exklusions-Prinzip berechnen:

$|A^{\prime }\cap B^{\prime }\cap C^{\prime }|=|E|-|A|-|B|-|C|+|A\cap B|+|A\cap C|+|B\cap C|-|A\cap B\cap C|=10^6-500000-1000-100+500+50+10-5=499455$

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