TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 221

Bestimmen sie die allgemeine Lösung der Differenzengleichung: $a_n=\frac{n}{n+2}.a_{n-1}+\frac{1}{n^2+3n+2}$

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Lösungsvorschlag von ...

Post im Forum der im wesentlichen das selbe besagt. Hier hab ich mich bemueht etwas mehr Rechenschritten dazwischen zu machen...

Angabe umformen

In der Angabe ist nicht $a_{n+1}$ explizit:

$a_n=\frac{n}{n+2}.a_{n-1}+\frac{1}{n^2+3n+2}$

Damit die Formeln aus dem Buch angewendet werden koennen, muss zuerst die Angabe umgeformt werden. Dies geschieht, indem einfach statt n eben n+1 eingesetzt wird:

$a_{n+1}=\frac{n+1}{(n+1)+2}{a}_{(n+1)-1}+\frac{1}{(n+1{)}^2+3(n+1)+2}=\frac{n+1}{n+3}{a}_n+\frac{1}{n^2+2n+1+3n+3+2}=\frac{n+1}{n+3}{a}_n+\frac{1}{n^2+5n+6}$

Lösung der homogenen Gleichung

Mit der umgeformten Angabe ist die Lösung der homogenen Gleichung $x_n^{(h)}=C\ast \prod _{i=0}^{n-1}\frac{i+1}{i+3}$

• Einfaches ausrechnen des Produktes $\prod _{i=0}^{n-1}\frac{i+1}{i+3}$ ergibt schnell $\frac{2}{(n+1)(n+2)}$

Anmerkung von --Lewurm 22:42, 29. Jun 2008 (CEST)

das kann man sich so überlegen:

$\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{4}\cdot \frac{3}{5}\cdots \frac{1+(n-1)}{3+(n-1)}$

im Zähler sieht man dass das einfach $n!$ ist und im Nenner $(n+2)!$ wobei $1\cdot 2$ ausgenommen werden sollen, also schreibt man diese einfach in den Zähler um sie rauszukuerzen.

$\frac{n!\cdot 1\cdot 2}{(n+2)!}$

schliesslich kann man noch $n!$ rauskürzen und kommt auf das oben stehende Ergebnis. [ (n+2)! = n! * (n+1) * (n+2) ]

• Ergibt im Endeffekt: $x_n^{(h)}=C\ast \frac{2}{(n+1)(n+2)}$

Anmerkung von --Matmö 22:25, 15. Jun. 2010 (CEST): Bei uns in der Übungsgruppe wurde das auch so wie oben vorgerechnet, aber es ist laut unserem Ü-Leiter nicht notwendig, die Angabe umzuformen. Man kann statt dessen einfach die Indizies der Lösungsformel anpassen:

$a_n=\frac{n}{n+2}\ast a_{n-1}=\prod _{i=1}^n\frac{i}{i+2}\ast a_0=\frac{n!\ast 1\ast 2\ast a_0}{(n+2)!}=\frac{2a_0}{(n+2)(n+1)}$

Anmerkung von --Benutzer:Fabianm 08:16, 01. Dez. 2021 (CET): Die Zwischenschritte zuvor sind eventuell etwas schnell. Schaut man sich den Nenner genauer an, sieht man:

$\prod _{i=1}^{n}i+2=3\ast 4\ast 5\ast \mathrm{...}\ast n\ast (n+1)\ast (n+2)\ne (n+2)!$

Deshalb ausführlich:

$a_n=\frac{n}{n+2}\ast a_{n-1}=(\prod _{i=1}^n\frac{i}{i+2})\ast a_0=\frac{1\ast 2}{1\ast 2}(\prod _{i=1}^n\frac{i}{i+2})\ast a_0=\frac{1\ast 2\ast n!\ast a_0}{(n+2)!}=\frac{2a_0}{(n+2)(n+1)}$

Partikulaere Loesung der inhomogenen Gleichung

Diesmal mit der Methode der Variation der Konstanten. Daher gilt: $x_n^{(p)}=C_n\ast \frac{2}{(n+1)(n+2)}$

Nun wird die $x_n^{(p)}$ in die Angabe eingesetzt:

$C_{n+1}\ast \frac{2}{(n+2)(n+3)}=C_n\ast \frac{2}{(n+1)(n+2)}\ast \frac{n+1}{n+3}+\frac{1}{n^2+5n+6}$

Nun wird durch den Multiplicator von $C_{n+1}$ dividiert, was die Gleichung gleich wesentlich vereinfacht:

$C_{n+1}=C_n\ast \frac{\frac{2(n+1)}{(n+1)(n+2)(n+3)}}{\frac{2}{(n+2)(n+3)}}+\frac{\frac{1}{n^2+5n+6}}{\frac{2}{(n+2)(n+3)}}=C_n\ast \frac{2(n+1)\ast (n+2)(n+3)}{(n+1)(n+2)(n+3)\ast 2}+\frac{1\ast (n+2)(n+3)}{(n^2+5n+6)\ast 2}=C_n+\frac{1}{2}$

Daraus folgt: $C_n=\frac{1}{2}\ast n=\frac{n}{2}$ und die partiklulaere Loesung der inhomogenen Gleichung ist somit:

$x_n^{(p)}=C_n\ast \frac{2}{(n+1)(n+2)}=\frac{n}{2}\ast \frac{2}{(n+1)(n+2)}=\frac{n}{(n+1)(n+2)}$

Loesung

Die Loesung ist somit:

$x_n=x_n^{(h)}+x_n^{(p)}=C\ast \frac{2}{(n+1)(n+2)}+\frac{n}{(n+1)(n+2)}=\frac{2C+n}{(n+1)(n+2)}$

Links

ähnliche Beispiele:

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• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 207

• Diskussion im Informatik-Forum WS07 Beispiel 205