TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 230

Gesucht ist die allgemeine Lösung der Differenzengleichung

$x_{n+2}-6x_{n+1}+9x_n=8+3^n,n=0,1,2,\dots$

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{{Beispiel|status=solved|1=
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Lösungsvorschlag

homogene Lösung

$x_{n+2}-6x_{n+1}+9x_n=0$ mittels Ansatz ${\lambda }^2+a\lambda +b=0$:

${\lambda }^2-6\lambda +9=0\Rightarrow {\lambda }_{1,2}=3$

Da ${\lambda }_1={\lambda }_2$ reell folgt

$\begin{array}{cc}{x}_n^{(h)}& =(C_1+C_{2}n){\lambda }_1^n\\ & =(C_1+C_{2}n)3^n\\ & =C_1{3}^n+C_2{3}^{n}n\end{array}$

Störfunktion (1)

$s_n^{(1)}=8$

Versuchslösung ist daher $x_n^{(1)}=A$.

$\begin{array}{cc}{A}_1-6A_1+9A_1& =8\\ 4A_1& =8\\ A_1& =2\Rightarrow x_n^{(1)}=2\end{array}$

Störfunktion (2)

$s_n^{(2)}=3^n$

Versuchslösung ist daher $x_n^{(2)}=A{r}^n$. Da sowohl $A_2{3}^n$ und $A_2{3}^{n}n$ bereits Teil der homogenen Lösung sind, nehmen wir $A_2{3}^n{n}^2$ und setzen in die inhomogene Gleichung ein.

$\begin{array}{cc}{A}_2{3}^{n+2}(n+2{)}^2-6A_2{3}^{n+1}(n+1{)}^2+9A_2{3}^n{n}^2& =3^n\\ A_{2}9(n+2{)}^2-18A_2(n+1{)}^2+9A_2{n}^2& =1\\ A_2(9(n^2+4n+4)-18(n^2+2n+1)+9n^2)& =1\\ A_2(36n+36-36n-18)& =1\\ 18A_2& =1\\ A_2& =\frac{1}{18}\Rightarrow x_n^{(2)}=\frac{1}{18}{3}^n{n}^2\end{array}$

allgemeine Lösung

$\begin{array}{cc}{x}_n& =x_n^{(h)}+x_n^{(1)}+x_n^{(2)}\\ & =C_1{3}^n+C_2{3}^{n}n+2+\frac{1}{18}{3}^n{n}^2\\ & =(C_1+C_{2}n+\frac{n^2}{18})3^n+2\end{array}$

Links

• Diskussion im Informatik-Forum

• Lösung aus dem WS04 (PDF)
• Mitschrift vom 23.4.06