TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 240

Lösen Sie die Rekursion mit der Ansatzmethode: $a_n=5a_{n-1}+2^{n-1}-6n{5}^n(n\ge 1),a_0=2$

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Lösungsvorschlag von Liiooo

Homogene Lösung

Zuerst müssen wir die homogene Lösung der Differenzengleichung berechnen. Dazu verwenden wir folgende Formel: $x_n^{(h)}=C\ast \prod _{i=0}^{n-1}{a}_i$ In unserem Fall sieht das dann so aus:

$a_n^{(h)}=C\ast \prod _{i=0}^{n-1}5=C\ast 5^{n-1}$

Partikulär Lösung

Da es sich um eine inhomogene Differenzengleichung handelt müssen wir noch die partikuläre Lösung berechnen. Dazu verwenden wir die Ansatzmethode mit Superpositionsprinzip (Satz 7.21).

Störterm 1: $s_1(n)=2^{n-1}$ Ansatz: $A{2}^{n-1}$

Störterm 2: $s_2(n)=6n{5}^n$ Ansatz: $(A+Bn)5^n$ Weil dieser Ansatz bereits ein Teil der homogen Lösung ist müssen wir ihn noch mit $n$ multiplizieren (Resonanzfall): $(A+Bn)5^n\ast n$

Berechnen von $a_n^{(p_1)}$

Dazu setzen wir unseren Ansatz in die Angabe ein und lösen nach A auf. Dabei beachten wir, dass nur die erste Störfunktion verwendet wird.

$a_n^{(p_1)}:\begin{array}{cc}A\ast 2^{n-1}& =5\ast A\ast 2^{n-1}+2^{n-1}|:2^{n+1}\\ A& =\frac{5A}{2}+1|\ast 2\\ 2A& =5A+2\\ \Rightarrow A& =-\frac{2}{3}\\ \\ \Rightarrow a_n^{(p_1)}=-\frac{2^n}{3}\end{array}$

Berechnen von $a_n^{(p_2)}$

Hier setzen wir wieder in die Angabe ein und berechnen mit dem Koeffizientenvergleich die Werte von A und B. Hier verwenden wir nur die zweite Störfunktion aus der Angabe.

$a_n^{(p_2)}:\begin{array}{cc}(A+Bn)5^n\ast n& =5\ast (A+B(n-1))\ast 5^{n-1}\ast (n-1)-6n{5}^n\\ A{5}^{n}n+B{5}^n{n}^2& =5\ast (A+Bn-B)\ast 5^{n-1}\ast (n-1)-6n{5}^n|:5^n\\ An+B{n}^2& =(A+Bn-B)\ast (n-1)-6n\\ An+B{n}^2& =An+B{n}^2-Bn-A-Bn+B-6n\\ 0& =-2Bn-A+B-6n\\ \\ n^0:0& =-A+B\\ n^1:0& =-2B-6\\ \Rightarrow A& =-3\\ \Rightarrow B& =-3\\ \\ \Rightarrow a_n^{(p_2)}=(-3-3n)5^{n}n\end{array}$

Allgemeine Lösung

$a_n=a_n^{(h)}+a_n^{(p_1)}+a_n^{(p_2)}=C\ast 5^{n-1}-\frac{2^n}{3}-(-3-3n)5^{n}n=C\ast 5^{n-1}-\frac{2^n}{3}-(3+3n)5^{n}n$

Einsetzen von: $a_0=2$

$\begin{array}{cc}2& =\frac{C}{5}-\frac{1}{3}\\ \frac{7}{3}& =\frac{C}{5}\\ \Rightarrow C& =\frac{35}{3}\\ \end{array}$

$\Rightarrow \frac{35}{3}\ast 5^{n-1}-\frac{2^n}{3}-(3+3n)5^{n}n$