TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 245

Lösen Sie die Rekursion mit der Ansatzmethode:

$a_n-a_{\text{n-1}}+a_{\text{n-2}}=cos(n\pi /3)n\ge 2,a_0=1,a_1=0$

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
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}}

Lösungsvorschlag

Homogene Lösung

${\lambda }^2+\lambda +1=0$

Daraus folgt mit der kleinen Lösungsformel $p=-1$ und $q=1$:

${\lambda }_{\text{1,2}}=\frac{-p\pm \sqrt{p^2-4q}}{2}=\frac{1\pm \sqrt{1-4}}{2}=\frac{1}{2}\pm i\ast \frac{\sqrt{3}}{2}$

$tan(\phi )=\frac{IM}{RE}=\frac{\sqrt{3}}{1}=>\phi =arctan(\sqrt{3})=\frac{\pi }{3}$

$R=\sqrt{R{E}^2+I{M}^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2$

$x_n^{(h)}=R^n(C_{1}cos(n\phi )+C_{2}sin(n\phi )=2^n(C_{1}cos(\frac{n\pi }{3})+C_{2}sin(\frac{n\pi }{3})$

partikuläre Lösung

$s_n=cos(\frac{n\pi }{3})$

$x_n^{(p)}=Acos(\frac{n\pi }{3})+Bsin(\frac{n\pi }{3})$

Einsetzen in die inhomogene Gleichung:

$Ancos(\frac{n\pi }{3})+Bnsin(\frac{n\pi }{3})+A(n-1)cos(\frac{(n-1)\pi }{3}+B(n-1)sin(\frac{(n-1)\pi }{3})+A(n-2)cos(\frac{(n-2)\pi }{3})+B(n-2)sin(\frac{(n-2)\pi }{3})$

Einsetzmethode: ohne Beschränkung der Allgemeinheit:

$n=3:3Acos(\frac{3\pi }{3})+3Bsin(\frac{3\pi }{3})+2Acos(\frac{2\pi }{3}+2Bsin(\frac{2\pi }{3})+Acos(\frac{\pi }{3})+Bsin(\frac{\pi }{3}=-3B-\sqrt{3}A+B+\frac{\sqrt{3}}{2}A-\frac{1}{2}B)$

$n=2:2Acos(\frac{2\pi }{3})+2Bsin(\frac{2\pi }{3})+Acos(\frac{\pi }{3}+Bsin(\frac{\pi }{3})+0\ast Acos(\frac{0\ast \pi }{3})+0\ast Bsin(\frac{0\ast \pi }{3}=\sqrt{3}A-B+\sqrt{3}A-\frac{1}{2}B)$

$=>B=\frac{1}{2}$

$=>A=\frac{1}{2\sqrt{3}}$

Allgemeine Lösung

$a_n=a_n^{(h)}+a_n^{(p)}=cos(\frac{n\pi }{3})\ast (D_1+\frac{1}{2})+sin(\frac{n\pi }{3})(D_2+\frac{1}{2\sqrt{3}})$