TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 268

Lösen Sie die Rekursion $a_{n+1}=a_n{a}_{n-1}(n\ge 1),a_0=1,a_1=2.$

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Lösungsvorschlag

Ein bisschen Herumexperimentieren mit den ersten paar Termen $a_2$, $a_3$, usw., lässt einen den folgenden Ansatz wagen:

$$a_n=a_0^{{\alpha }_n}{a}_1^{{\beta }_n}$$

Aus den Anfangswerten $a_0$ und $a_1$ folgt ${\alpha }_0=1$, ${\alpha }_1=0$ und ${\beta }_0=0$, ${\beta }_1=1$.

Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung und ein Koeffizientenvergleich liefert sofort die Gleichungen

$${\alpha }_{n+1}={\alpha }_n+{\alpha }_{n-1}$$

$${\beta }_{n+1}={\beta }_n+{\beta }_{n-1}$$

Dies sind die Rekursionsrelationen der Fibonacci-Folge. Aber aufgepasst: Die Anfangswerte sind nur für die Folge ${\beta }_n$ gleich der der Fibonacci-Folge.

Allerdings kann man durch einen Index-Shift auch für ${\alpha }_n$ eine Lösung finden. Man erhält:

$${\alpha }_n=\{\begin{array}{cc}1& n=0\\ F_{n-1}& sonst\end{array}$$

$${\beta }_n=F_n$$

Wobei $F_n$ die Terme der Fibonacci-Folge sind.

Zusammengefasst erhält man also als Lösung der Gleichung:

$$a_n=a_0^{F_{n-1}}{a}_1^{F_n},n\ge 2$$

für beliebige $a_0$ und $a_1$.

Eine interessante Frage ist, ob das die allgemeine Lösung ist.