TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 332

(a) Gegeben sind die Permutationen $\pi$=(1346), $\rho$=(134562) und $\sigma$=(126)(35) der $S_6$. Man berechne $\pi {\rho }^{-1}{\sigma }^2$ und $\pi \rho {\sigma }^{-2}$.

(b) Man schreibe die folgenden Permutationen in Zyklendarstellung bzw. als Produkt von Transpositionen und gebe deren Vorzeichen an:

$\pi =\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 2& 4& 5& 3& 1\end{array}\right)$, $\rho =\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 3& 4& 5& 6& 1& 2\end{array}\right)$,

$\sigma =\left(\begin{array}{cccccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\ 7& 4& 2& 9& 5& 8& 1& 10& 3& 6\end{array}\right)$

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Lösung von P.paulweber 18:48, 2. Mai 2008 (CEST)

Beispiel (a)

Zuerst $\pi$, $\rho$ und $\sigma$ von der Zyklendarstellung in die normale Darstellung umrechnen:

$\begin{array}{c}\\ \pi & =\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 3& 2& 4& 6& 5& 1\end{array}\right)\\ \\ \rho & =\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 3& 1& 4& 5& 6& 2\end{array}\right)\\ \\ \sigma & =\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 2& 6& 5& 4& 3& 1\end{array}\right)\end{array}$

Dann noch für die spätere Berechnung von $\rho$ und $\sigma$ die inverse Permutation berechnen:

$\begin{array}{c}\\ \rho & =\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 3& 1& 4& 5& 6& 2\end{array}\right)\Rightarrow {\rho }^{-1}& =\left(\begin{array}{cccccc}3& 1& 4& 5& 6& 2\\ 1& 2& 3& 4& 5& 6\end{array}\right)\Rightarrow {\rho }^{-1}& =\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 2& 6& 1& 3& 4& 5\end{array}\right)\\ \\ \sigma & =\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 2& 6& 5& 4& 3& 1\end{array}\right)\Rightarrow {\sigma }^{-1}& =\left(\begin{array}{cccccc}2& 6& 5& 4& 3& 1\\ 1& 2& 3& 4& 5& 6\end{array}\right)\Rightarrow {\sigma }^{-1}& =\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 6& 1& 5& 4& 3& 2\end{array}\right)\\ \\ \end{array}$

Berechnen von $\pi \circ {\rho }^{-1}\circ {\sigma }^2$ oder auch $\pi \circ {\rho }^{-1}\circ \sigma \circ \sigma$:

$\begin{array}{c}\\ \sigma \circ \sigma & =\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 2& 6& 5& 4& 3& 1\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 2& 6& 5& 4& 3& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 6& 1& 3& 4& 5& 2\end{array}\right)={\sigma }^2\\ \\ {\rho }^{-1}\circ {\sigma }^2& =\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 2& 6& 1& 3& 4& 5\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 6& 1& 3& 4& 5& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 5& 2& 1& 3& 4& 6\end{array}\right)\\ \\ \pi \circ {\rho }^{-1}\circ {\sigma }^2& =\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 3& 2& 4& 6& 5& 1\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 5& 2& 1& 3& 4& 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 5& 2& 3& 4& 6& 1\end{array}\right)=(156)=(15)(56)\end{array}$

Berechnen von $\pi \circ \rho \circ {\sigma }^{-2}$ oder auch $\pi \circ \rho \circ {\sigma }^{-1}\circ {\sigma }^{-1}$:

$\begin{array}{c}\\ {\sigma }^{-1}\circ {\sigma }^{-1}& =\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 6& 1& 5& 4& 3& 2\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 6& 1& 5& 4& 3& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 2& 6& 3& 4& 5& 1\end{array}\right)={\sigma }^{-2}\\ \\ \rho \circ {\sigma }^{-2}& =\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 3& 1& 4& 5& 6& 2\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 2& 6& 3& 4& 5& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 1& 2& 4& 5& 6& 3\end{array}\right)\\ \\ \pi \circ \rho \circ {\sigma }^{-2}& =\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 3& 2& 4& 6& 5& 1\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 1& 2& 4& 5& 6& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 3& 2& 6& 5& 1& 4\end{array}\right)=(13645)=(13)(36)(64)(45)\end{array}$

Bei gerader Anzahl an Zyklen -> - Vorzeichen Bei ungerader Anzahl an Zyklen -> + Vorzeichen

Ich glaub hier sind Transpositionen, nicht Zyklen gemeint -- pauly

Sind es nicht die Fehlstände gemeint? -> gerade Anzahl der Fehlstände = positiv bzw. ungerade Anzahl der Fehlstände = negativ -- nana

Es sind zwar eigentlich die Fehlstände gemeint, da aber jeder der einzel Zyklen negativ ist, ist das gesamt Ergebnis durch die Anzahl der einzelnen Zyklen wieder positiv. -- Jozott

Beispiel (b)

$\begin{array}{cc}\pi & =\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 2& 4& 5& 3& 1\end{array}\right)=(12435)=(12)(24)(43)(35)\mathrm{sgn}(\pi )=+1\\ \\ \rho & =\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 3& 4& 5& 6& 1& 2\end{array}\right)=(135)(246)=(13)(35)(24)(46)\mathrm{sgn}(\rho )=+1\\ \\ \sigma & =\left(\begin{array}{cccccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\ 7& 4& 2& 9& 5& 8& 1& 10& 3& 6\end{array}\right)=(17)(2493)(6810)=(17)(24)(49)(93)(68)(810)\mathrm{sgn}(\sigma )=+1\end{array}$