TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 385

Sei $\phi :G\to H$ ein bijektiver Gruppenhomomorphismus. Man zeige, dass dann auch ${\phi }^{-1}:H\to G$ ein Gruppenhomomorphismus ist.

Hilfreiches

Ist $f:A\to B$ eine bijektive Funktion, dann gilt für die Umkehrfunktion:
$f(f^{-1}(b))=f\circ f^{-1}=i{d}_B=b$ für alle $b\in B$
$f^{-1}(f(a))=f^{-1}\circ f=i{d}_A=a$ für alle $a\in A$

Homomorphismus:
Eine Abbildung $\phi :G\to H$ zwischen zwei Gruppen $(G,\circ )$ und $(H,\ast )$, wobei für alle $a,b,\in G$ gilt:
$\phi (a\circ b)=\phi (a)\ast \phi (b)$

== Bijektivität einer Abbildung == : $\mathrm{\forall }a\in A\mathrm{\exists }!b\in B\mid b=f(a)$

== Weiterer Lösungsvorschlag ==

Sei $\phi (g_1)=h_1,\phi (g_2)=h_2$

Z.Z. ${\phi }^{-1}(h_1,h_2)={\phi }^{-1}(h_1)\ast {\phi }^{-1}(h_2)$

$\phi (g_1)\ast \phi (g_2)=\phi (g_1\ast g_2)$(Phi ist ein Homomorphismus)

${\phi }^{-1}(\phi (g_1)\ast \phi (g_2))={\phi }^{-1}(\phi (g_1\ast g_2))$(Phi^-1 auf beide Seiten anwenden)

${\phi }^{-1}(\phi (g_1)\ast \phi (g_2))=g_1\ast g_2$

${\phi }^{-1}(h_1\ast h_2)=g_1\ast g_2$

${\phi }^{-1}(h_1\ast h_2)={\phi }^{-1}(\phi (g_1))\ast {\phi }^{-1}(\phi (g_2))$

${\phi }^{-1}(h_1\ast h_2)={\phi }^{-1}(h_1)\ast {\phi }^{-1}(h_2)$ $◼$

Lösungsvorschlag von neo

$\phi :G\to H\Rightarrow {\phi }^{-1}:H\to G$
Es gilt: $\phi (a\circ b)=\phi (a)\circ \phi (b)$
Aus der Bijektivität von $\phi$ lässt sich folgern: $\mathrm{\forall }h\in H\mathrm{\exists }!g\in G\mid g={\phi }^{-1}(h)$ (einfach die Definition der Bijektivität umdrehen)
Nun verküpfen wir ${\phi }^{-1}$ mit $\phi$:
${\phi }^{-1}\circ \phi (g_1\circ g_2)={\phi }^{-1}(\phi (g_1\circ g_2))={\phi }^{-1}(\phi (g_1))\circ {\phi }^{-1}(\phi (g_2))\iff i{d}_G(g_1\circ g_2)=i{d}_G(g_1)\circ i{d}_G(g_2)\Rightarrow g_1\circ g_2=g_1\circ g_2;g_1,g_2\in G$
Somit ist ${\phi }^{-1}:H\to G$ auch ein Gruppenhomomorphismus.