TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 385

Sei $\varphi :G\to H$ ein bijektiver Gruppenhomomorphismus. Man zeige, dass dann auch $\varphi ^{-1}:H\to G$ ein Gruppenhomomorphismus ist.

Hilfreiches

Ist $f:A\to B$ eine bijektive Funktion, dann gilt für die Umkehrfunktion:
$f(f^{-1}(b))=f\circ f^{-1}=id_{B}=b$ für alle $b\in B$
$f^{-1}(f(a))=f^{-1}\circ f=id_{A}=a$ für alle $a\in A$

Homomorphismus:
Eine Abbildung $\varphi :G\to H$ zwischen zwei Gruppen $(G,\circ )$ und $(H,*)$, wobei für alle $a,b,\in G$ gilt:
$\varphi (a\circ b)=\varphi (a)*\varphi (b)$

== Bijektivität einer Abbildung == : $\forall a\in A\exists !b\in B\mid b=f(a)$

== Weiterer Lösungsvorschlag ==

Sei $\varphi (g_{1})=h_{1},\varphi (g_{2})=h_{2}$

Z.Z. $\varphi ^{-1}(h_{1},h_{2})=\varphi ^{-1}(h_{1})*\varphi ^{-1}(h_{2})$

$\varphi (g_{1})*\varphi (g_{2})=\varphi (g_{1}*g_{2})$(Phi ist ein Homomorphismus)

$\varphi ^{-1}(\varphi (g_{1})*\varphi (g_{2}))=\varphi ^{-1}(\varphi (g_{1}*g_{2}))$(Phi^-1 auf beide Seiten anwenden)

$\varphi ^{-1}(\varphi (g_{1})*\varphi (g_{2}))=g_{1}*g_{2}$

$\varphi ^{-1}(h_{1}*h_{2})=g_{1}*g_{2}$

$\varphi ^{-1}(h_{1}*h_{2})=\varphi ^{-1}(\varphi (g_{1}))*\varphi ^{-1}(\varphi (g_{2}))$

$\varphi ^{-1}(h_{1}*h_{2})=\varphi ^{-1}(h_{1})*\varphi ^{-1}(h_{2})$ $\blacksquare$

Lösungsvorschlag von neo

$\varphi :G\to H\,\,\Rightarrow \,\,\varphi ^{-1}:H\to G$
Es gilt: $\varphi (a\circ b)=\varphi (a)\circ \varphi (b)$
Aus der Bijektivität von $\varphi$ lässt sich folgern: $\forall h\in H\exists !g\in G\mid g=\varphi ^{-1}(h)$ (einfach die Definition der Bijektivität umdrehen)
Nun verküpfen wir $\varphi ^{-1}$ mit $\varphi$:
$\varphi ^{-1}\circ \varphi (g_{1}\circ g_{2})=\varphi ^{-1}(\varphi (g_{1}\circ g_{2}))=\varphi ^{-1}(\varphi (g_{1}))\circ \varphi ^{-1}(\varphi (g_{2}))\Leftrightarrow id_{G}(g_{1}\circ g_{2})=id_{G}(g_{1})\circ id_{G}(g_{2})\Rightarrow g_{1}\circ g_{2}=g_{1}\circ g_{2};\,\,\,g_{1},g_{2}\in G$
Somit ist $\varphi ^{-1}:H\to G$ auch ein Gruppenhomomorphismus.