TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 397

Sei $(G,\ast )$ eine Gruppe. Untersuchen Sie, ob $(G\times G,\circ )$ mit $(a,b)\circ (c,d)=(a\ast c,b\ast d)$ ebenfalls eine Gruppe ist.

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Lösungsvorschlag von Berti

ACHTUNG: Ich bin mir nicht sicher, ob das mathematisch korrekt ist.

$(G,\ast )$ ist eine Gruppe. Das heißt es gelten die folgenden Gruppenkriterien (Gruppenaxiome):

• Abgeschlossen: $\mathrm{\forall }a,b\in G:a\ast b\in G$
• Assoziativ: $\mathrm{\forall }a,b,c\in G:(a\ast b)\ast c=a\ast (b\ast c)$
• Neutrales Element: $\mathrm{\forall }a\in G:a\ast e=e\ast a=a$
• Für jedes Element gibt es in inverses Element: $\mathrm{\forall }a\in G\mathrm{\exists }{a}^{-1}\in G:a\ast a^{-1}=a^{-1}\ast a=e$

Die Menge $G$ kann man sich vorstellen wie $G=\{a,b,c,\dots \}$, die Menge $G\times G$ wie $G\times G=\{(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),\dots ,(b,a),\dots \}$. Das heißt also, die Menge $G\times G$ besteht aus Tupeln, die aus einem Produkt der Menge $G$ mit sich selbst entstehen.

Abgeschlossenheit

Verknüpft man zwei Elemente der Menge $G\times G$ miteinander, so muss das Ergebnis wieder in $G\times G$ liegen. Das heißt, dass z.B. $(G\times G,\circ )$ mit $(a,b)\circ (c,d)$ wieder $\in G\times G$ sein muss. Nachdem $a\ast c\in G$ und $b\ast d\in G$ sind, muss es demnach auch das Tupel $(a\ast c,b\ast d)\in G\times G$ geben. Dies ergibt sich aus der Eigenschaft, dass $(G,\ast )$ ja eine Gruppe ist.

Assoziativität

$((a,b)\circ (c,d))\circ (e,f)=(a,b)\circ ((c,d)\circ (e,f))$

$(a\ast c,b\ast d)\circ (e,f)=(a,b)\circ (c\ast e,d\ast f)$

$(a\ast c\ast e,b\ast d\ast f)=(a\ast c\ast e,b\ast d\ast f)$

Assoziativität ist damit gegeben.

Neutrales Element

$(a,b)\circ (e,e)=(e,e)\circ (a,b)=(a\ast e,b\ast e)=(a,b)$

Nachdem $(G,\ast )$ eine Gruppe ist, muss $a\ast e\in G$ bzw. $b\ast e\in G$ sein, also muss die Existenz eines neutralen Elements gegeben sein. Somit ist auch die Existenz eines neutralen Elements für $(G\times G,\circ )$ gegeben.

Inverses Element

$(a,b)\circ (a^{\prime },b^{\prime })=(a^{\prime },b^{\prime })\circ (a,b)=(a\ast a^{\prime },b\ast b^{\prime })=(e,e)$

Hier ist die Argumentation gleich wie beim neutralen Element. Wir machen uns die Eigenschaft, dass $(G,\ast )$ eine Gruppe ist zu nutze und argumentieren, dass das somit auch für die neu erzeugte Gruppe gelten muss.

Nachdem alle vier Eigenschaften erfüllt sind, muss es sich bei $(G\times G,\circ )$ auch wieder um eine Gruppe handeln.

Hilfsmittel von Har203

Gruppe

Eine Gruppe ist ein geordnetes Paar $⟨G,\circ ⟩$ bestehend aus einer Menge $G$ und einer inneren zweistelligen Verknüpfung

$\circ :G\times G\to G,(a,b)\mapsto a\circ b\in G,$

die „abgeschlossen“ ist (diese Eigenschaft zu prüfen, wird bei algebraischen Strukturen oft übersehen)

$a,b\in G⟹𝐚\mathbf{\circ }𝐛\mathbf{\in }𝐆$

und, die die drei geforderten Gruppenaxiome erfüllt:

1. Assoziativität
   • $\mathrm{\forall }a,b,c\in G$ gilt$:(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$
2. Existenz eines neutralen Elementes
   • Es gibt ein neutrales Element $e\in G$ mit $\mathrm{\forall }a\in G$ gilt$:a\circ e=e\circ a=a$ (falls dieses existiert, ist dieses eindeutig).
3. Für alle Gruppenelemente $a$ existent ein inverses Element
   • $\mathrm{\forall }a\in G$ gilt$:\mathrm{\exists }{a}^{-1}\in G$ mit$:a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$.

Die Elemente einer Gruppe $⟨G,\circ ⟩$ heißen kurz Gruppenelemente.

Lösung von Har203

Sei $⟨G,\star ⟩$ eine vorgegebene Gruppe. Ausgehend von dieser Gruppe bilden wir eine neue algebraische Struktur $⟨G\times G,\circ ⟩$ mit folgender Operation

$(a,b)\circ (c,d)=(a\star c,b\star d),a,b,c,d\in G$

Abgeschlossenheit

Da $G$ als Gruppe abgeschlossen ist, gilt$:a\star c,b\star d\in G$ und somit$:(a\star c,b\star d)\in G\times G⟹$ die Operation $\circ :(G\times G{)}^2\mapsto G\times G$ ist ebenfalls abgeschlossen.

Assoziativität

Seien die drei folgenden Elemente beliebig gewählt

$f=(f_1,f_2),g=(g_1,g_2),h=(h_1,h_2)\in G\times G$ mit den Einzelkomponenten $f_1,f_2,g_1,g_2,h_1,h_2\in G$. 

Zu zeigen ist, dass

$\mathrm{\forall }f,g,h\in G\times G$ gilt$:(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)$.

$\begin{array}{cc}(f\circ g)\circ h=& ((f_1,f_2)\circ (g_1,g_2))\circ (h_1,h_2)=(f_1\star g_1,f_2\star g_2)\circ (h_1,h_2)=((f_1\star g_1)\star h_1,(f_2\star g_2)\star h_2))=\\ & \text{ [AG gilt in G] }=(f_1\star g_1\star h_1,f_2\star g_2\star h_2)=\text{ [AG gilt in G] }=(f_1\star (g_1\star h_1),f_2\star (g_2\star h_2))=\\ & (f_1,f_2)\circ (g_1\star h_1,g_2\star h_2)=(f_1,f_2)\circ ((g_1,g_2)\circ (h_1,h_2))=f\circ (g\circ h)\end{array}$

Neutrales Element

Zu zeigen ist, dass es ein neutrales Element $𝐞=(e_1,e_2)\in G\times G,e_1,e_2,a_1,a_2\in G$ gibt mit

$\mathrm{\forall }(a_1,a_2)\in G\times G$ gilt$:(a_1,a_2)\circ (e_1,e_2)=(e_1,e_2)\circ (a_1,a_2)=(a_1,a_2)$.

$(e_1,e_2)\circ (a_1,a_2)=(e_1\star a_1,e_2\star a_2)=(a_1,a_2)=(a_1\star e_1,a_2\star e_2)=(a_1,a_2)\circ (e_1,e_2)$

Sei $e_G$ das neutrale Element der Gruppe $G$, dann gilt$:e_1=e_2=e_G$ und $(e_G,e_G)\in G\times G$ ist das neutrale Element der neuen Struktur $⟨G\times G,\circ ⟩$.

Inverses Element

Für alle Gruppenelemente $a=(a_1,a_2)\in G\times G,$ mit $a_1,a_2\in G$ muss ein inverses Element existieren. Zu zeigen ist, dass

$\mathrm{\forall }a=(a_1,a_2)\in G\times G$ gilt$:\mathrm{\exists }{a}^{-1}=(a_1^{-1},a_2^{-1})\in G\times G$ mit$:a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=(e_G,e_G)$.

Wir nehmen an, dass das inverse Element zu einem gegebenen $a=(a_1,a_2)\in G\times G$ das Element $a^{-1}=(a_1^{-1},a_2^{-1})\in G\times G$ sei. Wir werden das beweisen:

$a\circ a^{-1}=(a_1,a_2)\circ (a_1^{-1},a_2^{-1})=(a_1\star a_1^{-1},a_2\star a_2^{-1})=\mathbf{(}{𝐞}_{𝐆},{𝐞}_{𝐆}\mathbf{)}=(a_1^{-1}\star a_1,a_2^{-1}\star a_2)=(a_1^{-1},a_2^{-1})\circ (a_1,a_2)=a^{-1}\circ a$

Wir haben alle Eigenschaften einer Gruppe geprüft und die neue Struktur $⟨G\times G,\circ ⟩$ ist eine Gruppe. $◼$