Sei
ein Ringhomomorphismus und
ein Ideal von
. Man zeige, dass
Ideal von
ist.
Ringhomomorphismus:
Gegeben seien zwei Ringe
. Eine Funktion
heißt Ringhomomorphismus, wenn für alle Elemente
von
gilt:
und ![{\displaystyle \varphi (ab)=\varphi (a)\varphi (b)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=80a75815869394c0c31d9eac1315e9a0&mode=mathml)
Ist
ein Gruppenhomomorphismus, so wird das neutrale Element
von
auf das neutrale Element
von
abgebildet, d.h.
.
Für
gilt:
![{\displaystyle 0\in I}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=152113aa35a3faf8a86c614cd4976d28&mode=mathml)
![{\displaystyle \forall x,y\in I:x+y\in I}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=2f866efc78e2f7785a3d45f234a0c857&mode=mathml)
![{\displaystyle \forall x\in I:\forall r\in R_{2}:xr\in R_{2},rx\in R_{2}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=d55fe1b4a19c0f966b86b915e4a444c5&mode=mathml)
Da es eine Umkehrfunktion
gibt, muss
bijektiv sein:
![{\displaystyle \forall a\in R_{1}\exists !b\in R_{2}:b=\varphi (a)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=57d1ce3c1f5f7f851ed50e7ec03aba06&mode=mathml)
Es wird also jedes Element aus
genau auf eine Element in
abgebildet. Umgekehrt gilt dasselbe.
Sei nun
das Ideal von
:
(Aufgrund des Gruppenhomomorphismussatzes)
(Abgeschlossenheit in
bezüglich der Addition)
![{\displaystyle \forall x\in I:\forall r\in R_{2}:xr\in R_{2},rx\in R_{2}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=d55fe1b4a19c0f966b86b915e4a444c5&mode=mathml)
(Abgeschlossenheit in
bezüglich der Multiplikation)