TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 442

Sei $\phi :R_1\to R_2$ ein Ringhomomorphismus und $I$ ein Ideal von $R_2$. Man zeige, dass $\phi -1(I)$ Ideal von $R_1$ ist.

Hilfreiches

Ringhomomorphismus:
Gegeben seien zwei Ringe $R,S$. Eine Funktion $\phi :R\to S$ heißt Ringhomomorphismus, wenn für alle Elemente $a,b$ von $R$ gilt:
$\phi (a+b)=\phi (a)+\phi (b)$ und $\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)$

Ist $\phi :G\to H$ ein Gruppenhomomorphismus, so wird das neutrale Element $e_G$ von $G$ auf das neutrale Element $e_H$ von $H$ abgebildet, d.h. $\phi (e_G)=e_H$.

Lösungsvorschlag von neo

Für $I$ gilt:
$0\in I$
$\mathrm{\forall }x,y\in I:x+y\in I$
$\mathrm{\forall }x\in I:\mathrm{\forall }r\in R_2:xr\in R_2,rx\in R_2$

Da es eine Umkehrfunktion ${\phi }^{-1}$ gibt, muss $\phi$ bijektiv sein:
$\mathrm{\forall }a\in R_1\mathrm{\exists }!b\in R_2:b=\phi (a)$
Es wird also jedes Element aus $R_1$ genau auf eine Element in $R_2$ abgebildet. Umgekehrt gilt dasselbe.

Sei nun $S={\phi }^{-1}(I)$ das Ideal von $R_1$:
$0\in {\phi }^{-1}(I)$ (Aufgrund des Gruppenhomomorphismussatzes)
$\mathrm{\forall }x,y\in I:x+y\in I\Rightarrow \mathrm{\forall }{\phi }^{-1}(x),{\phi }^{-1}(y):{\phi }^{-1}(x)+{\phi }^{-1}(y)\in S$ (Abgeschlossenheit in $S$ bezüglich der Addition)
$\mathrm{\forall }x\in I:\mathrm{\forall }r\in R_2:xr\in R_2,rx\in R_2$
$\Rightarrow \mathrm{\forall }{\phi }^{-1}(x)\in {\phi }^{-1}(I):\mathrm{\forall }{\phi }^{-1}(r)\in {\phi }^{-1}(R_2):{\phi }^{-1}(x){\phi }^{-1}(r)\in S,{\phi }^{-1}(r){\phi }^{-1}(x)\in S$ (Abgeschlossenheit in $S$ bezüglich der Multiplikation)