TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 69

Bestimmen Sie alle Lösungen der folgenden Kongruenzen bzw. beweisen Sie die Unlösbarkeit (in $\mathbb {Z}$).
a) x² − 3x + 2 $\equiv$ 0 mod 5

b) x² − 3x + 2 $\equiv$ 0 mod 6

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Hilfreiches

a $\equiv$ b mod m $\rightarrow$ a = b + mk bzw. b = a + mq

Die Umformung im Lösungsvorschlag ist falsch. Bei b) wäre x = 5 auch $\equiv$ 0 mod 6

Lösungsvorschlag von neo

a) x² − 3x + 2 $\equiv$ 0 mod 5 $\rightarrow$ 3x-x² $\equiv$ 2 mod 5 $\rightarrow$ x(3-x) $\equiv$ 2 mod 5 Nachdem ich umgeformt habe folgt daraus:
Die Restklasse von 2 entspricht der Restklasse von x(3-x). Da modulo 5 gerechnet wird, gibt es 5 Restklassen (0-4) und die setzt man dann für x ein.
0*(3-0)=0
1*(3-1)=2
2*(3-2)=2
3*(3-3)=0
4*(3-4)=-4
Es gibt also zwei Lösungen x1 und x2 (Restklasse 1 bzw. 2). Daraus folgt:
x1 = 1 mod 5 $\rightarrow$ x1 = 1+5k
x2 = 2 mod 5 $\rightarrow$ x2 = 2+5k
Also ist die Gesamtlösung: x = $\{$1+5k, 2+5k k $\in$ $\mathbb {Z}$$\}$ (Ich hoffe das ist so mathematisch korrekt aufgeschrieben)

b) x² − 3x + 2 $\equiv$ 0 mod 6 -> 3x-x² $\equiv$ 2 mod 6 $\rightarrow$ x(3-x) $\equiv$ 2 mod 6
Wieder alle Restklassen durchprobieren wie oben. Als Ergebnis bekommt man 1*(3-1)=2 und 2*(3-2)=2 (Restklasse 1 und 2).Wieder beide Lösungen untersuchen.
x1 $\equiv$ 1 mod 6 $\rightarrow$ x1 = 1 + 6k
x2 $\equiv$ 2 mod 6 $\rightarrow$ x2 = 2 + 6k
Gesamtlösung: x = $\{$1+6k, 2+6k k $\in$ $\mathbb {Z}$$\}$

Alines Team fragt: Müsste dann nicht für x = 4 und x = 5 auch $\equiv$ 0 mod 6 sein? 4^2-3*4+2= 6, 6 $\equiv$ 0 mod 6. Und auch 5^2 - 3 * 5 + 2 = 12, 12 $\equiv$ 0 mod 6 ???

Team Mo antwortet: Alines Team hat recht!