TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 10

Ist $a_0=0$ und $a_{n+1}=a_n+(n+1)$ für alle $n\in \mathbb{N}$, so gilt $a_n=\frac{n(n+1)}{2}$

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Hilfreiches

Vollständige Induktion

Vollständige Induktion

1. Induktionsanfang (IA)
2. Induktionsschritt (IS): Induktionsvoraussetzung (IV) $\Rightarrow$ Induktionsbehauptung (IB)

Lösungsvorschlag von samuelp

Induktionsanfang $n=0$

Linke Seite $a_0=0$

Rechte Seite $\frac{0(0+1)}{2}=0$

Induktionsschritt $n\to n+1$

Induktionshypothese: $a_n=\frac{n(n+1)}{2}$

Induktionsbehauptung: $a_{n+1}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$

Linke Seite:

$\begin{array}{cc}{a}_{n+1}& \stackrel{\text{def.}{a}_n}{=}{a}_n+(n+1)\\ & \stackrel{I.H.}{=}\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)\\ & =\frac{n(n+1)}{2}+\frac{2n+2}{2}\\ & =\frac{n^2+n}{2}+\frac{2n+2}{2}\\ & =\frac{n^2+3n+2}{2}\end{array}$

Rechte Seite:

$\begin{array}{cc}\frac{(n+1)(n+2)}{2}& =\frac{n^2+3n+2}{2}\end{array}$

Da beide Seiten auf den selben Ausdruck ${\displaystyle }$ umgeformt werden können, ist $a_{n+1}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$ richtig.