Man zeige mittels vollständiger Induktion, dass für die rekursiv definierte Folge
und
für
allgemein gilt:
, für alle ![{\displaystyle 1\leq n}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=45fdbc9258c9ab1fbdac292ad48bbe64&mode=mathml)
Dieses Beispiel ist als
solved markiert. Ist dies falsch oder ungenau? Aktualisiere den Lösungsstatus (Details:
Vorlage:Beispiel)
Links:
Rechts:
Induktionsanfang
k=1 : n=2
![{\displaystyle x_{2}=(4-1)^{2}=9}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=051d08606da7187ad0e5c678022df39b&mode=mathml)
damit ist der Induktionsanfang bewiesen (9=9)
Induktionsschritt
- Induktionsvorraussetzung
, für alle ![{\displaystyle 1\leq n}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=45fdbc9258c9ab1fbdac292ad48bbe64&mode=mathml)
- Induktionsbehauptung - n -> n+1
zuerst wird folgender Term für n+1 berechnet: ![{\displaystyle x_{n}=(2n-1)^{2}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=5928ff051c4eec4031b9422543d0c0e4&mode=mathml)
![{\displaystyle x_{n+1}=(2(n+1)-1)^{2}=(2n+2-1)^{2}=(2n+1)^{2}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=1f8024f613b762d9868b35e7d4f89a0e&mode=mathml)
jetzt wird der zweite Term für n+1 berechnet: ![{\displaystyle x_{k+1}=x_{k}+8k}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=d175ea2a1410d93211d3c9e95c73dceb&mode=mathml)
![{\displaystyle x_{n+1}=x_{n}+8n=(2n-1)^{2}+8n=4n^{2}-4n+1+8n=4n^{2}+4n+1=(2n+1)^{2}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=0f042e96e88b9e4a4ff092163af516c3&mode=mathml)
![{\displaystyle (2n+1)^{2}=(2n+1)^{2}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=75094a4a092cad7c469329f0605f1add&mode=mathml)
q.e.d.
Zu zeigen ist, dass für x1 = 1 und xk+1 = xk + 8k für k ≥ 1 allgemein gilt:
xn = (2n - 1)2, für alle n ≥ 1.
IV: Sei P(n) die Aussage
xn+1 = xn + 8n, für alle n ≥ 1.
IA: P(1) ist wahr denn
x2 = (2·2 - 1)2 = 9 und
x1+1=x1 + 8·1 = (2·1 - 1)2 + 8·1 = 9.
IS: Aus P(n) folgt P(n + 1) ist gleichbedeutend mit
xn+1 = (2(n + 1) - 1)2 = 4n2 + 4n + 1 = (4n2 - 4n + 1) + 8n = (2n - 1)2 + 8n = xn + 8n
Daraus folgt, dass für alle n ≥ 1 die Aussage P(n) wahr ist.