TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 143

Seien $f:A\to B$ und $g:B\to C$ injektive Abbildungen. Man zeige, daß dann auch

$h=g\circ f:A\to C$ injektiv ist. $(g\circ f)(x)=g(f(x))$

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Hilfreiches

Injektivität

Injektivität

"Verschiedene Elemente der Definitionsmenge werden auf verschiedene Elemente der Zielmenge abgebildet": $a_1,a_2\in A,a_1\ne a_2\Rightarrow f(a_1)\ne f(a_2)$ oder äquivalent: $a_1,a_2\in A,f(a_1)=f(a_2)\Rightarrow a_1=a_2$ Mathematik für Informatik (4.Auflage): Seite 45, Satz: 1.70

Lösungsvorschlag

Zuerst legen wir mal fest, dass gelten soll $f(a)=f(b)$

Damit kann man folgenden Zusammenhang aufschreiben:

$h(a)=(g\circ f)(a)=g(f(a))=g(f(b))=h(b)$

Aus der Injektivität von g folgt:

$g(f(a))=g(f(b))\Rightarrow f(a)=f(b)$

Und aus der Injektivität von f folgt:

$f(a)=f(b)\Rightarrow a=b$

Daher kann man zusammenfassend auch schreiben

$h(a)=h(b)\Rightarrow a=b$

wodurch gezeigt wäre, dass $h=g\circ f$ injektiv ist, wenn g und f injektiv sind.

Alte Lösung

hier der Link auf eine alte Lösung, wo allerdings der Beweis mMn nicht korrekt geführt ist