TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 143
Seien und Abbildungen.
Zeigen Sie, daß aus der Surjektivität von
die Surjektivität von g und aus der Injektivität von die Injektivität von f folgt.
{{Beispiel|1= Angabetext }}
oder
{{Beispiel| Angabetext }}
zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)
{{Beispiel|status=solved|1= Angabetext }}
Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
"Verschiedene Elemente der Definitionsmenge werden auf verschiedene Elemente der Zielmenge abgebildet": oder äquivalent:
Jedes Element der Zielmenge tritt mindestens einmal als Funktionswert auf:
Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Surjektivität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Aus der Surjektivität von folgt, dass es für jedes ein geben muss, für dass gilt
Setzen ergibt das:
Da gilt, ist somit bewiesen, dass es zu jedem ein mit gibt. Folglich ist g surjektiv.
Injektivität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Es ist und .
Aus der Injektivität von folgt
Wir müssen zeigen, dass aus folgt: .
.
Das beweist, dass f injektiv ist.