TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 146

Man zeige, daß die Funktion $f:\mathbb {R\setminus \{{\textrm {7}}\}} \rightarrow \mathbb {R\setminus \{{\textrm {2}}\}} ,\quad y={\frac {2x+1}{x-7}}$ bijektiv ist und bestimme ihre Umkehrfunktion.

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}}

Lösung (wurde vom UE-Leiter vorgerechnet, könnte also evtl. stimmen :-) )

Injektivität

$f(x_{1})=f(x_{2})\Longrightarrow x_{1}=x_{2}$

${\frac {2x_{1}+1}{x_{1}-7}}={\frac {2x_{2}+1}{x_{2}-7}}$

${\begin{array}{rcl}(2x_{1}+1)(x_{2}-7)&=&(2x_{2}+1)(x_{1}-7)\\2x_{1}x_{2}+x_{2}-14x_{1}-7&=&2x_{2}x_{1}+x_{1}-14x_{2}-7\end{array}}$

Kürzen:

$15x_{2}=15x_{1}\;\surd$

Surjektivität

$\forall y\in \mathbb {R\setminus \{{\textrm {2}}\}} \;\exists x:f(x)=y$

${\begin{array}{rcl}y(x-7)&=&2x+1\\yx-7y&=&2x+1\\-7y-1&=&2x-yx\\-7y-1&=&x(2-y)\end{array}}$

$x={\frac {7y+1}{y-2}}\;\in \mathbb {R\setminus \{{\textrm {2}}\}} \;\surd$

Injektivität $\land$ Surjektivität $\rightarrow$ Bijektivität.

Die im Surjektivitätsbeweis gefundene Formel ist gleichzeitig die Umkehrfunktion $f^{-1}()$ von $f()$.

Puh, viel Spaß damit,

--Baccus 05:26, 26. Nov 2006 (CET)

Ergänzung von mathematica4:

Um die Umkehrfunktion $f^{-1}$ einer Funktion f zu bilden, muss man zum Schluss noch einen Variablentausch machen, d.h. x und y vertauschen.

Die Umkehrfunktion lautet also:

$y={\frac {7x+1}{x-2}}\;$