TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 148

Man zeige, dass die Funktion $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,y=x\cdot |x|$ bijektiv ist und bestimme ihre Umkehrfunktion.

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Hilfreiches

Injektivität

Injektivität

"Verschiedene Elemente der Definitionsmenge werden auf verschiedene Elemente der Zielmenge abgebildet": $a_{1},a_{2}\in A,a_{1}\neq a_{2}\Rightarrow f(a_{1})\neq f(a_{2})$ oder äquivalent: $a_{1},a_{2}\in A,f(a_{1})=f(a_{2})\Rightarrow a_{1}=a_{2}$

Surjektivität

Surjektivität

Jedes Element der Zielmenge tritt mindestens einmal als Funktionswert auf: $\forall b\in B\ \exists a\in A:b=f(a)$

Bijektivität

Bijektivität

Eine Funktion ist bijektiv, wenn Injektivität & Surjektivität vorliegt. Diese Eigenschaft impliziert die Existenz einer Umkehrfunktion $f^{-1}()$.

Umkehrfunktion

Lösungsvorschlag

Damit die Funktion bijektiv ist, muss sie injektiv und surjektiv sein. Bevor wir jedoch anfangen, ist es einfacher, wenn man sich die Funktion anders definiert:

$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,y={\begin{cases}x^{2}&{\text{für }}x\geq 0\\-x^{2}&{\text{sonst}}\end{cases}}$

Injektion

Die Funktion bildet keine zwei unterschiedlichen Werte auf das gleiche Bild ab, sie ist injektiv. Das ergibt sich, da die Wurzelfunktion selbst bijektiv und somit auch surjektiv ist.

Surjektion

Hier betrachten wir den Fall, ob jeder Wert $y$ auf mindestens ein $x$ in $\mathbb {R}$ zurückgeführt werden kann. Oder ausgedrückt mit Hilfe der Prädikatenlogik: $\forall y\in \mathbb {R} ,\exists x\in \mathbb {R} :y=f(x)$. Es muss also möglich sein, jede reelle Zahl zu erzeugen.

Hier müssen wir wieder zwei Fälle für die Funktion unterscheiden:

• $y\geq 0:y=x\cdot |x|=x^{2}\Rightarrow x={\sqrt {y}}$
  • Hier wird nur das positive Ergebnis von ${\sqrt {y}}$ verwendet, da gemäß Definition der Funktion nur ein positives $x$ zu einem positiven $y$ werden kann.
• $y<0:y=x\cdot |x|=-x^{2}\Rightarrow x=-{\sqrt {-y}}$
  • Hier wird nur das negative Ergebnis von ${\sqrt {-y}}$ verwendet, da gemäß Definition der Funktion nur ein negatives $x$ zu einem negativen $y$ werden kann.

Die Funktion ist somit surjektiv.

Bijektion

Durch die gegebene Injektivität und Surjektivität folgt auch die Bijektivität.

Umkehrfunktion

Um die Umkehrfunktion zu bestimmen, nimmt man die Lösung, die man beim Prüfen der Surjektion gefunden hat und vertauscht $x$ und $y$:

$f^{-1}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,y={\begin{cases}{\sqrt {x}}&{\text{für }}x\geq 0\\-{\sqrt {-x}}&{\text{sonst}}\end{cases}}$

Umkehrfunktion ohne Fallunterscheidung

Diese Funktion habe ich nur mit reiner Intuition aufgestellt. Sie ist zwar vermutlich richtig, jedoch ohne Lösungsweg:

$f^{-1}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,y=|{\sqrt {|x|}}|*{\frac {|x|}{x}}$

Der Betrag unter der Wurzel ist dafür zuständig, dass keine komplexen Lösungen entstehen können. Der Betrag außerhalb der Wurzel ist dafür zuständig, dass bei der Wurzel nur ein Wert herauskommt. Der rechte Malblock ist dafür zuständig, dass die Funktion für $x<0$ mit $-1$ multipliziert wird.

-- Superwayne (Diskussion) 00:19, 10. Nov. 2014 (CET)