TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 219

Gesucht ist die allgemeine Lösung der linearen Differenzengleichung $x_{n+1}=3^{2n}{x}_n+3^{n^2},n=0,1,2,\mathrm{...}$

Hilfreiches

Lösung einer inhomogenen Gleichung ist gegeben durch $x_n=x_n^{(h)}+x_n^{(p)}$, wobei $x_n^{(h)}$ die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung $x_{n+1}=a_n{x}_n$ und $x_n^{(p)}$ eine beliebige partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung ist.

Lösungsvorschlag von neo

Hier haben wir es also mit einer inhomogenen linearen Differenzengleichung erster Ordnung zu tun. Zuerst die homogene Lösung berechnen:
$x_{n+1}^{(h)}=3^{2n}{x}_n=x_0\prod _{i=0}^n{3}^{2i}($Man rechnet immer $3^{2\ast 0}\ast 3^{2\ast 1}\ast 3^{2\ast 2}\mathrm{...}\ast 3^{2\ast n}\to \prod _{i=0}^n{3}^{2i}$)
$\to x_0=C\to x_n^{(h)}=C\prod _{i=0}^{n-1}{3}^{2i}$
Nun, wie im Buch 4.Auflage auf Seite 290/291 beschrieben macht man Variation der Konstanten. Dabei setzt man $C=C_n$ und anschließend wird die partikuläre Lösung in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt.
$x_n^{(p)}=C_n\prod _{i=0}^{n-1}{3}^{2i}\to$ Einsetzen in $x_{n+1}=3^{2n}{x}_n+3^{n^2}$
$C_{n+1}\prod _{i=0}^n{3}^{2i}=C_n\prod _{i=0}^{n-1}{3}^{2i}\ast 3^{2n}+3^{n^2}\to C_{n+1}\prod _{i=0}^n{3}^{2i}=C_n\prod _{i=0}^n{3}^{2i}+3^{n^2}\to C_{n+1}=C_n+3^{n^2}$ [*]
Man sieht hier, das sich $C_n$ durch das Aufsummieren von $3^{0^2}+3^{1^2}+3^{2^2}+\mathrm{...}+3^{(n-1{)}^2}$ ergibt.
$C_n=\sum _{i=0}^{n-1}{3}^{i^2}$ (Sollte jemand eine Formel für diesen Ausdruck finden wäre das optimal)
Hiermit haben wir eine partikuläre Lösung: $x_n^{(p)}=C_n\prod _{i=0}^{n-1}{3}^{2i}=\sum _{i=0}^{n-1}{3}^{i^2}\prod _{i=0}^{n-1}{2}^{2i}$
Nun die allgemeine Lösung und die partikuläre Lösung zusammenrechnen.

$x_n=x_n^{(h)}+x_n^{(p)}=C\prod _{i=0}^{n-1}{3}^{2i}+\sum _{i=0}^{n-1}{3}^{i^2}\prod _{i=0}^{n-1}{3}^{2i}=\prod _{i=0}^{n-1}{3}^{2i}(C+\sum _{i=0}^{n-1}{3}^{i^2})$

[*] Frage: Warum kann man hier einfach das Produkt weg kürzen?