Gesucht ist die allgemeine Lösung der linearen Differenzengleichung ![{\displaystyle x_{n+1}=3^{2n}x_{n}+3^{n^{2}},n=0,1,2,...}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=cced606c098891204fd3ba793b6d2cee&mode=mathml)
Lösung einer inhomogenen Gleichung ist gegeben durch
, wobei
die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung
und
eine beliebige partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung ist.
Hier haben wir es also mit einer inhomogenen linearen Differenzengleichung erster Ordnung zu tun. Zuerst die homogene Lösung berechnen:
Man rechnet immer
)
![{\displaystyle \to x_{0}=C\to x_{n}^{(h)}=C\prod _{i=0}^{n-1}{3^{2i}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=690687c08074fbf00f7f30864c02127d&mode=mathml)
Nun, wie im Buch 4.Auflage auf Seite 290/291 beschrieben macht man Variation der Konstanten. Dabei setzt man
und anschließend wird die partikuläre Lösung in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt.
Einsetzen in ![{\displaystyle x_{n+1}=3^{2n}x_{n}+3^{n^{2}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=c80fc5078543e30bea45367b4d6acb3b&mode=mathml)
[*]
Man sieht hier, das sich
durch das Aufsummieren von
ergibt.
(Sollte jemand eine Formel für diesen Ausdruck finden wäre das optimal)
Hiermit haben wir eine partikuläre Lösung: ![{\displaystyle x_{n}^{(p)}=C_{n}\prod _{i=0}^{n-1}{3^{2i}}=\sum _{i=0}^{n-1}{3^{i^{2}}}\prod _{i=0}^{n-1}{2^{2i}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=99d743412ee911363d9c98b7eb5458f2&mode=mathml)
Nun die allgemeine Lösung und die partikuläre Lösung zusammenrechnen.
![{\displaystyle x_{n}=x_{n}^{(h)}+x_{n}^{(p)}=C\prod _{i=0}^{n-1}{3^{2i}}+\sum _{i=0}^{n-1}{3^{i^{2}}}\prod _{i=0}^{n-1}{3^{2i}}=\prod _{i=0}^{n-1}{3^{2i}}(C+\sum _{i=0}^{n-1}{3^{i^{2}}})}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=ab0000aba62803c47ce3e2935036b158&mode=mathml)
[*] Frage: Warum kann man hier einfach das Produkt weg kürzen?