TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 220

Bestimmen sie die allgemeine Lösung der Differenzengleichung: $a_{n}={\frac {n+2}{3n}}a_{n-1}+n^{2}+3n+2$

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Musterloesung von Prof. Eigenthaler

Da das Beispiel keiner geschafft hat, stellte uns Prof. Eigenthaler eine Musterloesung bereit:

$a_{n}={\frac {n+2}{3n}}a_{n-1}+n^{2}+3n+2,\;\;n\geq 1$

Eigenschaften: linear, inhomogen, 1. Ordnung (Buchseiten 273-275)

homogene Gleichung:

$a_{n}={\frac {n+2}{3n}}a_{n-1}=:\lambda a_{n-1}$

Wir setzen $a_{0}=:C$, dann gilt:

$a_{n}=C\cdot \lambda _{1}\cdot \lambda _{2}\cdot \ldots \cdot \lambda _{n}=C{\frac {3\cdot 4\cdot \ldots \cdot (n+2)}{3^{n}\cdot 1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n}}=C{\frac {(n+2)!}{2\cdot 3^{n}\cdot n!}}=C{\frac {(n+1)(n+2)}{2\cdot 3^{n}}}=:a_{n}^{(h)}$

Das ist die allgemeine Loesung der homogenen Gleichung.

Probe:

${\frac {a_{n}^{(h)}}{a_{n-1}^{(h)}}}={\frac {\frac {(n+1)(n+2)}{2\cdot 3^{n}}}{\frac {n(n+1)}{2\cdot 3^{n-1}}}}={\frac {2(n+1)(n+2)3^{n-1}}{2n(n+1)3^{n}}}={\frac {n+2}{3n}}$

inhomogene Gleichung:

Ansatz: Variation der Konstanten.

$a_{n}^{(p)}=C_{n}{\frac {(n+1)(n+2)}{2\cdot 3^{n}}}={\frac {n+2}{3n}}C_{n-1}{\frac {n(n+1)}{2\cdot 3^{n-1}}}+n^{2}+3n+2$

$\Rightarrow (C_{n}-C_{n-1}){\frac {(n+1)(n+2)}{2\cdot 3^{n}}}=n^{2}+3n+2=(n+1)(n+2)$

$\Rightarrow C_{n}-C_{n-1}=2\cdot 3^{n}\Rightarrow C_{n}=C_{n-1}+2\cdot 3^{n}$

Wir waehlen $C_{0}=0$ und erhalten:

$C_{1}=2\cdot 3,\ldots ,C_{n}=2\cdot 3+\ldots +2\cdot 3^{n}$ also

$C_{n}=2\cdot 3\cdot (1+3+\ldots +3^{n-1})=2\cdot 3{\frac {3^{n}-1}{3-1}}=3(3^{n}-1)$ und somit

$a_{n}^{(p)}=C_{n}{\frac {(n+1)(n+2)}{2\cdot 3^{n}}}=3(3^{n}-1){\frac {(n+1)(n+2)}{2\cdot 3^{n}}}$

das ist unsere partikulaere Loesung.

Jetzt koennen wir die allgemeine Loesung anschreiben:

$a_{n}=a_{n}^{(h)}+a_{n}^{(p)}=(C+3(3^{n}-1)){\frac {(n+1)(n+2)}{2\cdot 3^{n}}}=(C+3^{n+1}-3){\frac {n^{2}+3n+2}{2\cdot 3^{n}}},\;\;C\in \mathbb {R}$

--Lewurm 21:07, 12. Jun 2008 (CEST)

Links

ähnliche Beispiele:

• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 205

• Diskussion im Informatik-Forum WS07 Beispiel 206