Gesucht ist die allgemeine Lösung der linearen homogenen Differenzengleichungen
- (a)
- (b)
- (c)
Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier:
Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:
{{Beispiel|1=
Angabetext
}}
oder
{{Beispiel|
Angabetext
}}
zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)
{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}
(a): [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Wir wählen als Ansatz . Für lineare Differenzengleichungen ergibt sich eine charakteristische Gleichung der Form:
Für unsere Differenzengleichung heißt das:
Einsetzen in die Lösungsformel für quadratische Gleichungen ergibt:
Nach Adam Riesling (Satz 7.17, Buch S. 282) gilt, dass man alle Lösungen der homogenen Gleichung durch 2 linear unabhängige Lösungen erhält duch den Ausdruck
D.h., für unsere Beispiel lautet die allgemeine Lösung (der Ansatz war ja ):
(b): [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Nach dem selben Schema:
Für komplexe Zahlen meint das Buch (S. 283; Fall ii), dass man die Werte am Besten in Polarkoordinaten umrechnet
und das Ergebnis anschreibt als
Wählen wir nun C1 und C2 konjugiert komplex, so sind die Werte D1 = (C1 + C2) und D2 = i(C1-C2) wieder reell, und wir erhalten
was bei uns dann so aussieht:
Korrigiert, Crispy 19:36, 14. Jun. 2010 (CEST)
Anmerkung, Nec : Die Dezimalzahl 0.5236 lässt sich im Bogenmaß schöner als darstellen.
(c): [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Für diesen Fall empfiehlt das Buch als erste Partikulärlösung , für die zweite :
P.W.N.E.D.
Crispy 03:24, 11. Jun. 2010 (CEST)
Lösungsvorschlag von mnemetz (basierend auf Lösung aus 2004 unten)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Ich habe meinen Lösungsvorschlag (basierend auf Lösung aus 2004 unten) mit LaTex nieder geschrieben und das PDF hier zum Download bereitgestellt]. --Markus Nemetz 09:53, 9. Jun 2006 (CEST)
Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 82