TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 223

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Gesucht ist die allgemeine Lösung der linearen homogenen Differenzengleichungen

  1. (a)
  2. (b)
  3. (c)
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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Crispy's Versuch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

(a): [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wir wählen als Ansatz . Für lineare Differenzengleichungen ergibt sich eine charakteristische Gleichung der Form:

Für unsere Differenzengleichung heißt das:

Einsetzen in die Lösungsformel für quadratische Gleichungen ergibt:

Nach Adam Riesling (Satz 7.17, Buch S. 282) gilt, dass man alle Lösungen der homogenen Gleichung durch 2 linear unabhängige Lösungen erhält duch den Ausdruck

D.h., für unsere Beispiel lautet die allgemeine Lösung (der Ansatz war ja ):

(b): [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nach dem selben Schema:

Für komplexe Zahlen meint das Buch (S. 283; Fall ii), dass man die Werte am Besten in Polarkoordinaten umrechnet

und das Ergebnis anschreibt als

Wählen wir nun C1 und C2 konjugiert komplex, so sind die Werte D1 = (C1 + C2) und D2 = i(C1-C2) wieder reell, und wir erhalten

was bei uns dann so aussieht:

Korrigiert, Crispy 19:36, 14. Jun. 2010 (CEST)

Anmerkung, Nec : Die Dezimalzahl 0.5236 lässt sich im Bogenmaß schöner als darstellen.

(c): [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für diesen Fall empfiehlt das Buch als erste Partikulärlösung , für die zweite :

P.W.N.E.D.

Crispy 03:24, 11. Jun. 2010 (CEST)

Lösungsvorschlag von mnemetz (basierend auf Lösung aus 2004 unten)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ich habe meinen Lösungsvorschlag (basierend auf Lösung aus 2004 unten) mit LaTex nieder geschrieben und das PDF hier zum Download bereitgestellt]. --Markus Nemetz 09:53, 9. Jun 2006 (CEST)

Lösung aus Karigl 2004[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]


Quelle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 82