TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 224

Gesucht ist die allgemeine Lösung der linearen homogenen Differenzengleichungen

(a) $x_{n+2}-7x_{n+1}+12x_{n}=0$

(b) $x_{n+2}+x_{n+1}+x_{n}=0$

(c) $x_{n+2}-8x_{n+1}+16x_{n}=0$

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Lösungsvorschlag

(a)

$x_{n+2}-7x_{n+1}+12x_{n}=0$

die Charakteristische Gleichung ist somit:

${\lambda }^{2}-7{\lambda }+12$

mit der Lösung:

${\lambda }_{1,2}=\left\{3,4\right\}$

Die Lösung der Gleichung hat also die Form:

$x_{n}=C_{1}\cdot 3^{n}+C_{2}\cdot 4^{n},C_{1},C_{2}\in \mathbb {R}$

(b)

Charakteristische Gleichung

$\lambda ^{2}+\lambda +1=0$

$\lambda _{1,2}=-{\frac {1}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {1}{4}}-1}}$

$\lambda _{1,2}=-{\frac {1}{2}}\pm {\sqrt {-{\frac {3}{4}}}}$

$\lambda _{1,2}=-{\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {-3}}$

$\lambda _{1,2}=-{\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}i$

Polarkoordinaten $r$

$r=|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{4}}+{\frac {3}{4}}}}=1$

Polarkoordinaten $\phi$

Mit Hilfe des Arkustangens kann $\phi$ wie folgt im Intervall $(-\pi ,\pi ]$ bestimmt werden:

$\varphi ={\begin{cases}\arctan {\frac {b}{a}}&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ a>0\\\arctan {\frac {b}{a}}+\pi &\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ a<0,\ b\geq 0\\\arctan {\frac {b}{a}}-\pi &\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ a<0,\ b<0\\+\pi /2&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ a=0,\ b>0\\-\pi /2&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ a=0,\ b<0\\\end{cases}}$

$\Rightarrow \phi _{\lambda _{1}}=\arctan {\frac {b}{a}}+\pi =\arctan {\frac {\sqrt {3}}{-1}}+\pi =-{\frac {\pi }{3}}+\pi ={\frac {2\pi }{3}}$

$\Rightarrow \phi _{\lambda _{2}}=\arctan {\frac {b}{a}}-\pi =\arctan {\frac {-{\sqrt {3}}}{-1}}-\pi ={\frac {\pi }{3}}-\pi =-{\frac {2\pi }{3}}$

Für $\cos \phi$ und $\sin \phi$ gilt:

$\cos \phi =\cos -\phi$

$\sin \phi =-\sin -\phi$

Damit folgt:

$\lambda _{1}=r(\cos \phi _{\lambda _{1}}+i\sin \phi _{\lambda _{1}})=1(\cos {\frac {2\pi }{3}}+i\sin {\frac {2\pi }{3}})$

$\lambda _{2}=r(\cos \phi _{\lambda _{2}}+i\sin \phi _{\lambda _{2}})=1(\cos -{\frac {2\pi }{3}}+i\sin -{\frac {2\pi }{3}})=1(\cos {\frac {2\pi }{3}}-i\sin {\frac {2\pi }{3}})$

Oder in kombinierter Darstellung:

$\lambda _{1,2}=r(\cos \phi \pm i\sin \phi )=1(\cos {\frac {2\pi }{3}}\pm i\sin {\frac {2\pi }{3}})$

Die Allgemeine Loesung lautet:

$x_{n}=1^{n}(C_{1}\cos {\frac {2\pi }{3}}n+C_{2}\sin {\frac {2\pi }{3}}n)\quad {\text{mit}}\quad C_{1},C_{2}\in \mathbb {R}$

Sollte jetzt so passen! --Jules 22:50, 30. Mai 2011 (CEST)

Nochmal leicht nachgebessert und detailliert. --Fabianm 09:00, 01. Dez. 2021 (CET)

(c)

Charakteristische Gleichung

$\lambda ^{2}-8\lambda +16=0$

$\lambda _{1,2}={\frac {8\pm {\sqrt {-8^{2}-4\cdot 16}}}{2}}$

$\lambda _{1,2}={\frac {8\pm {\sqrt {0}}}{2}}$

$\lambda _{1,2}=4$

$a^{2}-4b=0\Rightarrow$ die allgemeine Loesung ist

$x_{n}=C_{1}\lambda _{1}^{n}+C_{2}n\lambda _{1}^{n}=(C_{1}+C_{2}n)\lambda _{1}^{n}\quad {\text{mit}}\quad C_{1},C_{2}\in \mathbb {R}$

$\Rightarrow x_{n}=(C_{1}+C_{2}n)4^{n}$

Links

• Diskussion im Informatik-Forum WS07 Beispiel 211

• Ähnliche Beispiele:
  • TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 210