TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 228

Gesucht ist die allgemeine Lösung der Differenzengleichung

$x_{n+2}-6x_{n+1}+9x_{n}=8+3^{n},\quad n=0,1,2,\ldots$

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Lösungsvorschlag

homogene Lösung

$x_{n+2}-6x_{n+1}+9x_{n}=0$ mittels Ansatz $\lambda ^{2}+a\lambda +b=0$:

$\lambda ^{2}-6\lambda +9=0\Rightarrow \lambda _{1,2}=3$

Da $\lambda _{1}=\lambda _{2}$ reell folgt

${\begin{aligned}x_{n}^{(h)}&=(C_{1}+C_{2}n)\lambda _{1}^{n}\\&=(C_{1}+C_{2}n)3^{n}\\&=C_{1}3^{n}+C_{2}3^{n}n\end{aligned}}$

Störfunktion (1)

$s_{n}^{(1)}=8$

Versuchslösung ist daher $x_{n}^{(1)}=A$.

${\begin{aligned}A_{1}-6A_{1}+9A_{1}&=8\\4A_{1}&=8\\A_{1}&=2\Rightarrow x_{n}^{(1)}=2\end{aligned}}$

Störfunktion (2)

$s_{n}^{(2)}=3^{n}$

Versuchslösung ist daher $x_{n}^{(2)}=Ar^{n}$. Da sowohl $A_{2}3^{n}$ und $A_{2}3^{n}n$ bereits Teil der homogenen Lösung sind, nehmen wir $A_{2}3^{n}n^{2}$ und setzen in die inhomogene Gleichung ein.

${\begin{aligned}A_{2}3^{n+2}(n+2)^{2}-6A_{2}3^{n+1}(n+1)^{2}+9A_{2}3^{n}n^{2}&=3^{n}\\A_{2}9(n+2)^{2}-18A_{2}(n+1)^{2}+9A_{2}n^{2}&=1\\A_{2}\left(9(n^{2}+4n+4)-18(n^{2}+2n+1)+9n^{2}\right)&=1\\A_{2}\left(36n+36-36n-18\right)&=1\\18A_{2}&=1\\A_{2}&={\frac {1}{18}}\Rightarrow x_{n}^{(2)}={\frac {1}{18}}3^{n}n^{2}\end{aligned}}$

allgemeine Lösung

${\begin{aligned}x_{n}&=x_{n}^{(h)}+x_{n}^{(1)}+x_{n}^{(2)}\\&=C_{1}3^{n}+C_{2}3^{n}n+2+{\frac {1}{18}}3^{n}n^{2}\\&=\left(C_{1}+C_{2}n+{\frac {n^{2}}{18}}\right)3^{n}+2\end{aligned}}$

Links

• Diskussion im Informatik-Forum

• Lösung aus dem WS04 (PDF)
• Mitschrift vom 23.4.06