TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 24
Wo steckt der Fehler im "Beweis" der Behauptung:
Je zwei natürliche Zahlen sind gleich groß.
Beweis: vollständige Induktion nach dem
a) : Hier gilt . Induktionsanfang
b) Die Behauptung gelte für . Induktionsbehauptung
Sei nun . Dann ist .
Es folgt aus der Induktionsvoraussetzung b), daß , womit auch gilt.
möglicher Fehler: Beschränkung des Definitionsbereichs auf die "Natürlichen Zahlen", d.h. Werte
kleiner als 0 (negative Zahlen sind nicht zulässig.
Ist , dann wäre (keine natürliche Zahl)
Hapi
-- (Anm. (Baccus): Kommt mir zwar nach wie vor spanisch vor :-), wurde aber von unserem UE-Leiter heute so akzeptiert, bzw. auch so erklärt!).
-- (Anm. (Blµb): Nun, der Induktionsanfang ist max{a,b} = n, nicht = n+1, daher fallen negative Zahlen weg. Habe meine Lösung dazugeschrieben.)
Vorschlag von Blµb[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Kommt irgendwie aufs selbe hinaus, aber:
Der Induktionsanfang max{a,b} = 1 lässt in ohne 0 (da bei a n = 1 steht nehm ich an wir haben keine 0) gar keine verschiedenen Zahlen a,b zu, daher stimmt die Behauptung nicht. Man müsste entweder sagen: "Je zwei gleiche Zahlen a,b sind gleich groß" - na wie passend - oder explizit für ein n > 0 zeigen, womit man dann auf dieselbe Weise auf n+1 schließen könnte. Wers jetz schafft das ganze für ein n > 1 explizit zu beweisen bekommt von mir ein Keks ;)
Vorschlag von Tonico[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Wenn ich es richtig verstehe scheitert es schon am Induktionsanfang.
IV: Die Aussage P(n) lautet
max(a, b) = n ⇒ a = b, mit a, b, n ∈ ℕ.
IA: P(0) ist nicht wahr denn max(a, b) = 0 ⇒ a = b gilt z.B. nicht für a = 0, b = 1.
Anm (BlµB): Es geht darum, dass aus FOLGT, dass a und b = 0.
Lösung nach der Übung am 25.[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Wenn der IA: , dann ist der Induktionsschritt:
Es gilt also nicht in allen Fällen.
Noch eine Lösung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Setzt man für a-1 oder b-1 0 ein so ist dies keine Natürliche Zahl mehr und widerspricht der Annahme am Anfang. (s.o) Alle anderen Vorschläge wurden bei uns nicht akzeptiert!