TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 245

Lösen Sie die Rekursion mit der Ansatzmethode: $a_{n}+a_{n-2}=cos({\frac {n*\Pi }{2}}),(n\geq 2),a_{0}=7,a_{1}=-1$

Lösungsvorschlag von sleepwalker

HG: $a_{n}+a_{n-2}=0$
$\lambda ^{2}+1=0$
$\lambda _{1,2}=\pm {\sqrt {-1}}=\pm i$
$\phi ={\frac {\Pi }{2}}$
$a_{n}^{(h)}=C_{1}*cos({\frac {n*\Pi }{2}})+C_{2}*sin({\frac {n*\Pi }{2}})$

IG: $a_{n}^{(p)}=A*n*cos({\frac {n*\Pi }{2}})+B*n*sin({\frac {n*\Pi }{2}})$ (Resonanzfall berücksichtigen)
Jetzt kann man ein lineares Gleichungssystem aufstellen, wo man einmal $n=2$ und $n=3$ einsetzt, um die beiden Variablen $A$ und $B$ zu berechnen. (Das Rechnen lass ich hier mal aus es ist in Latex ziemlich aufwendig)
Schließlich hat man die folgenden beiden Gleichungen:
$-2A=-1$
$-3B-A=0$
$A={\frac {1}{2}},B={\frac {-1}{6}}$
Jetzt nur noch $a_{0}=7$ und $a_{1}=-1$ einsetzen, danach kommt für $C_{1}=7$ und für $C_{2}=0$ raus.

$a_{n}=7*cos({\frac {n*\Pi }{2}})+{\frac {1}{2}}*n*cos({\frac {n*\Pi }{2}})-{\frac {1}{6}}*n*sin({\frac {n*\Pi }{2}})$