TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 247

Lösen Sie die Rekursion mit der Ansatzmethode: $a_n+a_{n-2}=cos(\frac{n\ast \Pi }{2}),(n\ge 2),a_0=7,a_1=-1$

Lösungsvorschlag von sleepwalker

HG: $a_n+a_{n-2}=0$
${\lambda }^2+1=0$
${\lambda }_{1,2}=\pm \sqrt{-1}=\pm i$
$\varphi =\frac{\Pi }{2}$
$a_n^{(h)}=C_1\ast cos(\frac{n\ast \Pi }{2})+C_2\ast sin(\frac{n\ast \Pi }{2})$

IG: $a_n^{(p)}=A\ast n\ast cos(\frac{n\ast \Pi }{2})+B\ast n\ast sin(\frac{n\ast \Pi }{2})$ (Resonanzfall berücksichtigen)
Jetzt kann man ein lineares Gleichungssystem aufstellen, wo man einmal $n=2$ und $n=3$ einsetzt, um die beiden Variablen $A$ und $B$ zu berechnen. (Das Rechnen lass ich hier mal aus es ist in Latex ziemlich aufwendig)
Schließlich hat man die folgenden beiden Gleichungen:
$-2A=-1$
$-3B-A=0$
$A=\frac{1}{2},B=\frac{-1}{6}$
Jetzt nur noch $a_0=7$ und $a_1=-1$ einsetzen, danach kommt für $C_1=7$ und für $C_2=0$ raus.

$a_n=7\ast cos(\frac{n\ast \Pi }{2})+\frac{1}{2}\ast n\ast cos(\frac{n\ast \Pi }{2})-\frac{1}{6}\ast n\ast sin(\frac{n\ast \Pi }{2})$