Lösen Sie die Rekursion mit der Ansatzmethode:
Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier:
Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:
{{Beispiel|1=
Angabetext
}}
oder
{{Beispiel|
Angabetext
}}
zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)
{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}
Zuerst müssen wir die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung ausrechnen. Das machen wir mit der charakteristischen Gleichung. Dadurch erhalten wir
Dadurch erhalten wir .
Jetzt müssen wir noch die partikuläre Lösung ausrechnen. Da unsere Störfunktion ist, wenden wir das Superpositionsprinzip an. Dadurch haben wir zwei partikuläre Lösungen mit den folgenden Ansätzen (siehe Buch S. 301):
Beide Ansätze werden mit n multipliziert, weil es sich um Resonanzfälle handelt.
Jetzt rechnen wir für jeden Ansatz A aus, indem wir die jeweiligen Ansätze in die ursprüngliche Gleichung einsetzten (nur mit ihrer eigenen Störfunktion):
Mit der letzten Zeile machen wir nun einen Koeffizientenvergleich für und :
Daraus können wir nun ablesen, dass und ist.
Jetzt können wir uns die Lösungsgesamtheit ausrechnen, indem wir die jeweiligen A und B in die partikulären Lösungen einsetzen:
Zum Schluss müssen wir nur noch durch Einsetzen von und ausrechnen:
dann haben wir die Lösung: