TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 30

Zeigen sie, dass $\sqrt{40}$ irrational ist.

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von frunobulax

Beweis durch Widerspruch

Angeommen $\sqrt{40}=\frac{p}{q}\in \mathbb{Q},p,q\in \mathbb{N},q>0,ggT(p,q)=1$. Letzteres ist o.B.d.A. möglich: Sind sie nicht teilerfremd, so kann der Bruch gekürzt werden bis teilerfremde $p,q$ gefunden werden.

$40=\frac{p^2}{q^2}$

$40q^2=p^2$

Somit ist $p^2$ durch 40 teilbar. 40 ist keine Quadratzahl, somit ist auch $p$ durch 40 teilbar: $p=40n$

$(40n{)}^2=40q^2$

$40n^2=q^2$

Somit ist auch $q^2$ durch 40 teilbar, und somit auch $q$. Dies widerspricht der Annahme der Teilerfremdheit!

Daher ist $\sqrt{40}\notin \mathbb{Q}$.