TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 330

(a) Gegeben sind die Permutationen $\pi$=(1346), $\rho$=(134562) und $\sigma$=(126)(35) der $S_{6}$. Man berechne $\pi \rho ^{-1}\sigma ^{2}$ und $\pi \rho \sigma ^{-2}$.

(b) Man schreibe die folgenden Permutationen in Zyklendarstellung bzw. als Produkt von Transpositionen und gebe deren Vorzeichen an:

$\pi =\left({\begin{array}{ccccc}1&2&3&4&5\\2&4&5&3&1\end{array}}\right)$, $\rho =\left({\begin{array}{cccccc}1&2&3&4&5&6\\3&4&5&6&1&2\end{array}}\right)$,

$\sigma =\left({\begin{array}{cccccccccc}1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\7&4&2&9&5&8&1&10&3&6\end{array}}\right)$

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empfehlenswerter link:

https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=965

Lösung von P.paulweber 18:48, 2. Mai 2008 (CEST)

Beispiel (a)

Zuerst $\pi$, $\rho$ und $\sigma$ von der Zyklendarstellung in die normale Darstellung umrechnen:

${\begin{aligned}\\\pi &=\left({\begin{array}{cccccc}1&2&3&4&5&6\\3&2&4&6&5&1\end{array}}\right)\\\\\rho &=\left({\begin{array}{cccccc}1&2&3&4&5&6\\3&1&4&5&6&2\end{array}}\right)\\\\\sigma &=\left({\begin{array}{cccccc}1&2&3&4&5&6\\2&6&5&4&3&1\end{array}}\right)\end{aligned}}$

Dann noch für die spätere Berechnung von $\rho$ und $\sigma$ die inverse Permutation berechnen:

${\begin{aligned}\\\rho &=\left({\begin{array}{cccccc}1&2&3&4&5&6\\3&1&4&5&6&2\end{array}}\right)\Rightarrow \rho ^{-1}&=\left({\begin{array}{cccccc}3&1&4&5&6&2\\1&2&3&4&5&6\end{array}}\right)\Rightarrow \rho ^{-1}&=\left({\begin{array}{cccccc}1&2&3&4&5&6\\2&6&1&3&4&5\end{array}}\right)\\\\\sigma &=\left({\begin{array}{cccccc}1&2&3&4&5&6\\2&6&5&4&3&1\end{array}}\right)\Rightarrow \sigma ^{-1}&=\left({\begin{array}{cccccc}2&6&5&4&3&1\\1&2&3&4&5&6\end{array}}\right)\Rightarrow \sigma ^{-1}&=\left({\begin{array}{cccccc}1&2&3&4&5&6\\6&1&5&4&3&2\end{array}}\right)\\\\\end{aligned}}$

Berechnen von $\pi \circ \rho ^{-1}\circ \sigma ^{2}$ oder auch $\pi \circ \rho ^{-1}\circ \sigma \circ \sigma$:

${\begin{aligned}\\\sigma \circ \sigma &=\left({\begin{array}{cccccc}1&2&3&4&5&6\\2&6&5&4&3&1\end{array}}\right)\circ \left({\begin{array}{cccccc}1&2&3&4&5&6\\2&6&5&4&3&1\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cccccc}1&2&3&4&5&6\\6&1&3&4&5&2\end{array}}\right)=\sigma ^{2}\\\\\rho ^{-1}\circ \sigma ^{2}&=\left({\begin{array}{cccccc}1&2&3&4&5&6\\2&6&1&3&4&5\end{array}}\right)\circ \left({\begin{array}{cccccc}1&2&3&4&5&6\\6&1&3&4&5&2\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cccccc}1&2&3&4&5&6\\5&2&1&3&4&6\end{array}}\right)\\\\\pi \circ \rho ^{-1}\circ \sigma ^{2}&=\left({\begin{array}{cccccc}1&2&3&4&5&6\\3&2&4&6&5&1\end{array}}\right)\circ \left({\begin{array}{cccccc}1&2&3&4&5&6\\5&2&1&3&4&6\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cccccc}1&2&3&4&5&6\\5&2&3&4&6&1\end{array}}\right)=(156)=(15)(56)\end{aligned}}$

Berechnen von $\pi \circ \rho \circ \sigma ^{-2}$ oder auch $\pi \circ \rho \circ \sigma ^{-1}\circ \sigma ^{-1}$:

${\begin{aligned}\\\sigma ^{-1}\circ \sigma ^{-1}&=\left({\begin{array}{cccccc}1&2&3&4&5&6\\6&1&5&4&3&2\end{array}}\right)\circ \left({\begin{array}{cccccc}1&2&3&4&5&6\\6&1&5&4&3&2\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cccccc}1&2&3&4&5&6\\2&6&3&4&5&1\end{array}}\right)=\sigma ^{-2}\\\\\rho \circ \sigma ^{-2}&=\left({\begin{array}{cccccc}1&2&3&4&5&6\\3&1&4&5&6&2\end{array}}\right)\circ \left({\begin{array}{cccccc}1&2&3&4&5&6\\2&6&3&4&5&1\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cccccc}1&2&3&4&5&6\\1&2&4&5&6&3\end{array}}\right)\\\\\pi \circ \rho \circ \sigma ^{-2}&=\left({\begin{array}{cccccc}1&2&3&4&5&6\\3&2&4&6&5&1\end{array}}\right)\circ \left({\begin{array}{cccccc}1&2&3&4&5&6\\1&2&4&5&6&3\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cccccc}1&2&3&4&5&6\\3&2&6&5&1&4\end{array}}\right)=(13645)=(13)(36)(64)(45)\end{aligned}}$

Bei gerader Anzahl an Zyklen -> - Vorzeichen Bei ungerader Anzahl an Zyklen -> + Vorzeichen

Ich glaub hier sind Transpositionen, nicht Zyklen gemeint -- pauly

Sind es nicht die Fehlstände gemeint? -> gerade Anzahl der Fehlstände = positiv bzw. ungerade Anzahl der Fehlstände = negativ -- nana

Es sind zwar eigentlich die Fehlstände gemeint, da aber jeder der einzel Zyklen negativ ist, ist das gesamt Ergebnis durch die Anzahl der einzelnen Zyklen wieder positiv. -- Jozott

Beispiel (b)

${\begin{aligned}\pi &=\left({\begin{array}{ccccc}1&2&3&4&5\\2&4&5&3&1\end{array}}\right)=(12435)=(12)(24)(43)(35)\qquad \operatorname {sgn}(\pi )=+1\\\\\rho &=\left({\begin{array}{cccccc}1&2&3&4&5&6\\3&4&5&6&1&2\end{array}}\right)=(135)(246)=(13)(35)(24)(46)\qquad \operatorname {sgn}(\rho )=+1\\\\\sigma &=\left({\begin{array}{cccccccccc}1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\7&4&2&9&5&8&1&10&3&6\end{array}}\right)=(17)(2493)(6810)=(17)(24)(49)(93)(68)(810)\qquad \operatorname {sgn}(\sigma )=+1\end{aligned}}$