TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 339

Untersuchen Sie, ob die Menge $M$ mit der Operation $\circ$ ein Gruppoid, eine Halbgruppe, ein Monoid bzw. eine Gruppe ist:

$M=\{0,1,2\}$

$m\circ n=\min(m+n,2)$

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}}

oder

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Lösungsvorschlag

1. Abgeschlossenheit

$m\circ n=\min(m+n,2)$ liegt immer zwischen 0 und 2. Somit ist Abgeschlossenheit gegeben.

2. Assoziativität

Allgemein: $(m\circ n)\circ p=m\circ (n\circ p)$

$\min(\min(m+n),2)+p,2)=\min(m+\min(n+p,2),2)$

Bsp: $m=0,n=1,p=2$

-> $2=2$ Assoziativität ist gegeben!

3. Neutrales Element

Allgemein: $m\circ e=m$

$\min(m+e,2)=m$

$\min(m+0,2)=m$

Das neutrale Element ist vorhanden und ist $0$.

4. Inverse Elemente

Allgemein: $m\circ m^{-1}=e$

$\min(m+x,2)=e=0$

-> keine inversen Elemente vorhanden

Die vorliegende algebraische Struktur ist ein Monoid.