TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 353

Untersuchen Sie, ob die Menge $M$ mit der Operation $\circ$ ein Gruppoid, eine Halbgruppe, ein Monoid bzw. eine Gruppe ist: $M=\{x\in \mathbb{Q}\mid x\ge 0\},a\circ b=\frac{a+b}{1+ab}$

Lösungsvorschlag von neo

Sei $x_1=\frac{a}{k},x_2=\frac{b}{j}\to \frac{\frac{a}{k}+\frac{b}{j}}{1+\frac{a}{k}\frac{b}{j}}=\frac{\frac{a}{k}+\frac{b}{j}}{1+\frac{ab}{kj}}=\frac{\frac{aj+bk}{kj}}{\frac{kj+ab}{kj}}=\frac{(aj+bk)kj}{(kj+ab)kj}=\frac{aj+bk}{kj+ab}\in \mathbb{Q}\Rightarrow abgeschlossen$

$(a\circ b)\circ c=(\frac{a+b}{1+ab})\circ c=\frac{\frac{a+b}{1+ab}+c}{1+\frac{a+b}{1+ab}c}=\frac{\frac{a+b+c+abc}{1+ab}}{\frac{1+ab+ac+bc}{1+ab}}=\frac{(1+ab)(a+b+c+abc)}{(1+ab)(1+ab+ac+bc)}=\frac{a+b+c+abc}{1+ab+ac+bc}$

$a\circ (b\circ c)=a\circ (\frac{b+c}{1+bc})=\frac{a+\frac{b+c}{1+bc}}{1+a\frac{b+c}{1+bc}}=\frac{\frac{a+abc+b+c}{1+bc}}{\frac{1+bc+ab+ac}{1+bc}}=\frac{(1+bc)(a+abc+b+c)}{(1+bc)(1+bc+ab+ac)}=\frac{a+b+c+abc}{1+ab+ac+bc}$

$\Rightarrow assoziativ$

unvollständig..

e = 0

a' = -a

=> (abelsche) Gruppe

Korrektur:

Sollte eigentlich ein Monoid sein, denn das inverse Element kann nicht bestimmt werden, da $-a<0$ und sich damit nicht in $M$ befindet.

- lautzi