Untersuchen Sie, ob die Menge M{\displaystyle M} mit der Operation ∘{\displaystyle \circ } ein Gruppoid, eine Halbgruppe, ein Monoid bzw. eine Gruppe ist:M=N,a∘b=max{a,b}{\displaystyle M=\mathbb {N} ,a\circ b=max\{a,b\}}
a,b∈N→max{a,b}∈N→abgeschlossen{\displaystyle a,b\in \mathbb {N} \to max\{a,b\}\in \mathbb {N} \to abgeschlossen} (a∘b)∘c=(max{a,b})∘c=max{max{a,b},c}{\displaystyle (a\circ b)\circ c=(max\{a,b\})\circ c=max\{max\{a,b\},c\}} a∘(b∘c)=a∘(max{b,c})=max{a,max{b,c}}{\displaystyle a\circ (b\circ c)=a\circ (max\{b,c\})=max\{a,max\{b,c\}\}} Da immer die größte Zahl herauskommt →assoziativ{\displaystyle \to assoziativ} a∘a′=e→max{a,a′}=0bzw.1{\displaystyle a\circ a'=e\to max\{a,a'\}=0\,bzw.\,1\,\,}(nur für a=1bzw.a=0{\displaystyle a=1\,bzw.\,a=0} gültig) ⇒Monoid{\displaystyle \Rightarrow Monoid}
mit der Operation 
ein Gruppoid, eine Halbgruppe,
ein Monoid bzw. eine Gruppe ist:
(nur für 
gültig)