TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 367
Man beweise die Gültigkeit der folgenden Rechenregeln in einer Gruppe
für beliebige :
(i) (Kürzungsregel)
(ii)
(iii)
(iv) Die Gleichung ist in stets
eindeutig lösbar.
{{Beispiel|1= Angabetext }}
oder
{{Beispiel| Angabetext }}
zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)
{{Beispiel|status=solved|1= Angabetext }}
Lösung von themoep[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Erinnert euch: Eine Gruppe ist abgeschlossen, besitzt Assoziativitaet, hat ein Einheitselement und ein Inverses Element zu a. Diese Rechenregeln werden hier angewandt.
Hinweis:
(i)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
(ii)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
(iii)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
)
(iv)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Lösung von Juggl3r[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
(i)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Wir sehen, dass auf beiden Seiten der Gleichung links a steht. Wir multiplizieren also die Gleichung von links mit a^-1. (Achtung, wirklich von Links multiplizieren, da Kommutativität nicht gegeben ist.)
qed.
(ii)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die Eigenschaft eines inversen Elementes ist ja:
Das Gleiche können wir aber auf anwenden, also:
Allerdings muss auf Grund der Eigenschaften des inversen Elementes auch folgendes gelten (man kann es vertauschen):
Als nächsten Schritt multiplizieren wir von links mit a:
Und daraus ergibt sich schließlich:
qed
(iii)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
siehe oben
(iv)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Damit haben wir einmal bewiesen, dass die Gleichung lösbar ist. Wir müssen aber beweisen, dass die Gleichung eindeutig lösbar ist:
Dazu nehmen wir einmal an, dass es 2 Lösungen gibt:
Wir lösen die 2 Gleichungen:
Jetzt setzen wir gleich:
Also eindeutig lösbar.
qed.
Hoffe ich konnte helfen, gebe aber keine Gewähr, dass Lösungen stimmen!
Lösung für (iii) von Ryus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die oben vorgeschlagene Lösung funktioniert zwar, ich finde es jedoch etwas schwer drauf zu kommen. Daher hier eine möglicherweise einfachere Lösung:
Genau dann wenn das Inverse zu ist, muss gelten: .
Also rechnen wir das einfach mal unter mehrmaliger Anwendung des Assoziativgesetzes aus:
Damit ist die Aussage bewiesen.
--Ryus (Diskussion) 14:33, 23. Sep. 2015 (CEST)