TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 371

Sei G die Menge der Permutationen

$\{(1),(13),(24),(12)(34),(13)(24),(14)(23),(1234),(1432)\}$.

Man veranschauliche G, indem man die Permutationen auf die vier Eckpunkte eines Quadrats wirken lasse und als geometrische Operationen interpretiere. Man zeige mit Hilfe dieser Interpretation, dass G eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe $S_{4}$ ist (Symmetriegruppe des Quadrates) und bestimme alle Untergruppen.

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Lösungsvorschlag von Mathi

Hier mal die grafische Interpretation:

(1) --> Alles bleibt gleich

(13) --> Spiegelung über Diagonale 2,4

(24) --> Spiegelung über Diagonale 1,3

(12)(34) --> Spiegelung über links/rechts

(13)(24) --> Spiegelung über beide Diagonalen (=Drehung um 180°)

(14)(23) --> Spiegelung über oben/unten

(1234) --> Drehung um 90°

(1432) --> Drehung um 270°

Anmerkung mick:

Tipp: Damit man sich das veranschaulichen kann. Man nehme einen Zettel und beschrifte die Ecken mit jeweils 1,2,3,4 im Uhrzeigensinn. Auf der Rückseite des Zettels die gleiche Zahlen notieren.Dann einen zweiten Zettel, ebenfalls mit den Zahlen in den Ecken. Dieser Zettel dient als Orientierungshilfe. D.h. nur der erste Zettel wird über den zweiten Zettel gedreht etc.

Lösungsvorschlag von Juggl3r

Wir sollen nun noch Beweisen, dass G eine Untergruppe der Gruppe S4 ist. S4 bedeutet einfach, alle Permutationen von 4. Sprich 1 wird 2 zugeordnet, 2 zu 1 und 3 und 4 bleiben gleich. 1 wird 3 zugeordnet, 3 zu 1 und 2 und 4 bleiben gleich usw. Einfach alle möglichen Kombinationen, also 4! = 24 Permutationen.

Damit G eine Untergruppe ist, muss G eine Teilmenge sein. Da S4 alle Permutationen enthält, wir oben aber nur ein paar davon haben, ist es schon einmal eine Teilmenge.

Weiters muss G abgeschlossen sein. D.h., wenn wir mehrere Operationen anwenden, muss das Ergebnis immer noch in der Menge der Permutationen liegen. Schauen wir uns dazu ein Beispiel an:

$(14)(23)\cdot (13)=(1234)$

Hier wenden wir 2 Spiegelungen an und als Ergebnis bekommen wir eine Drehung um 90°. (zum Auflösen der Gleichung geht man von rechts nach links: Also wir nehmen zuerst 1 und schauen es uns an: 1 kommt das erste mal bei (13) vor, also wird 1 zu 3 und wir schauen weiter nach links. 3 wird anschließend zu 2 in (23). Also wir 1 insgesamt auf 2 abgebildet: Als nächstes schauen wir uns 2 an. 2 wird auf 3 abgebildet. Als nächsts 3: 3 auf 1 und dann 1 auf 4. Als nächstes 4: 4 auf 1. Draus ergibt sich also (1234). Ähnlich können wir das für alle Möglichkeiten zeigen, wir verlassen also nie die Menge. Also ist es Abgeschlossen.

Assoziativ ist es auch. Das können wir uns auch durchdenken, wenn wir spiegeln + spiegeln und dann drehen, dann ist es gleich wie wenn wir spiegeln + drehen und dann spiegeln.

Ein neutrales Element haben wir auch, nämlich die identische Abbildung: (1).

Ein inverses Element haben wir auch überall: Die Spiegelungen sind Selbstinvers, den wenn wir 2 mal z.b. an der Hauptdiagonalen Spiegeln erhalten wir eine identische Abbildung. Bei den Drehungen um 90° sind die jeweils anderen die inversen Elemente. Also 90° ist zu -90° invers und umgekehrt. Bei 180° ist es wieder Selbstinvers.

=> G ist eine Untergruppe von S4.

Jetzt müssen wir noch alle Untergruppen von G bestimmen. Aufgrund des Satzes von Lagrange muss natürlich die Mächtigkeit der Untergruppe ein Teiler von der Mächtigkeit von U sein. Mächtigkeit von U ist 8 (weil wir 8 Permutationen angegeben haben). Also können wir nur Untergruppen mit 1,2,4 und 8 Elementen haben. Eine Untergruppe muss wieder die obigen Eigenschaften haben, also ein inverses, neutrales Elt, abgeschlossen und Assoziativ.

Anmerkung: Ich glaube hier ist die Benennung bisschen durcheinander gekommen. U beschreibt eine Untergruppe der Gruppe G und |U| dir Mächtigkeit dieser Untergruppe.|U| muss ein Teiler von |G|, der Mächtigkeit der Gruppe sein. Hier steht "Mächtigkeit von U ist 8", das macht aber keinen Sinn und müsste meiner Meinung nach heißen "Mächtigkeit von G ist 8".

Untergruppe mit 1 Element:

Das ist klar, wir benötigen auf jeden Fall ein neutrales Element. Das neutrale ist Selbstinvers. Und Abgeschlossen ist es auch, da wir ja nix ändern. Assoziativ ist auch klar:

U = {(1)}

Untergruppen mit 2 Elementen:

Hier muss eines der beiden Elemente natürlich wieder das neutrale sein. Weiters können wir nur Elemente auswählen, welche Selbstinvers sind. => Also alle Spiegelungen und die Drehung um 180° (die eigentlich ja auch nur 2 Spiegelungen sind).

U = {(1), (13)}

U = {(1), (24)}

U = {(1), (12)(34)}

U = {(1), (14)(23)}

U = {(1), (13)(24)}

Anmerkung von Connor: Sollten es nicht 4 Untergruppen mit je 2 Elementen sein? Zumindest schreibt dies der Satz von Lagrange vor! Da 5 nicht 8 teilt.
Antwort: Nah, der Satz von Lagrange lautet "Ordnung einer Gruppe G = Ordnung einer Untergruppe U von G * Index von G nach U". Er sagt also nichts über die Anzahl von Untergruppen aus.

Untergruppen mit 4 Elementen:

U = {(1), (13), (24), (13)(24)}

U = {(1), (12)(34), (14)(23), (13)(24)}

U = {(1), (1234), (13)(24), (1432)}

Hier haben wir jeweils das neutrale Element dabei. Bei der ersten Untergruppe die Spiegelungen an den Diagonalen + 180° Drehung. Bei der zweiten Gruppe haben wir die Spiegelungen an den Mittelachsen + 180°. Und dann noch die Gruppe aller Rotationen (wobei die Identität sozusagen die "Rotation um 0 Grad" ist.
Anmerkung von Peter: Sollten nicht alle Permutationen (ausgenommen der Identität natürlich) der Untergruppe mit 2 Elementen auch Untergruppen mit 4 Elementen sein + die Gruppe mit den 3 Rotationen? Denn da die Elemente in der Gruppe mit 2 Elementen selbstinvers sind, sind weiterhin alle Anforderungen für eine Gruppe erfüllt. Ich hätte daher 11 Untergruppen der Ordnung 4.
Antwort von Peter nach der Übung: Nein, da sie sonst nicht mehr abgeschlossen sind.

Untergruppe mit 8 Elementen:

Diese Untergruppe ist wieder einfach, den es ist die gleiche wie G. (U = {(1)} und U = G sind die trivialen Untergruppen)

Hoffe ich konnte helfen, hier gilt wieder: Ich gebe keine Gewähr, dass es stimmt! Vorallem bei den Untergruppen mit 4 Elementen bin ich mir nicht ganz sicher.

Dieses Video ist sehr hilfreich: https://www.youtube.com/watch?v=LSxqaTT4LEI