TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 381

Man zeige: Das Zentrum Z(G) = {x ∈ G | x · y = y · x f¨ur alle y ∈ G} einer Gruppe $\langle \mathbb {G} ,*\rangle$

ist Normalteiler von G.

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oder

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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}}

Sei $Z(G)\neq \emptyset$, da das neutrale Element $e\in Z(G)$.

Seien weiters $a,b\in Z(G)$ und daher auch das inverse Element $b^{-1}\in Z(G)$

Aus der Voraussetzung $x\ast y=y\ast x$ folgt für ein beliebiges $g\in G$:

$b*g=g*b\Leftrightarrow b^{-1}*g=g*b^{-1}$.

Daher gilt auch $g\ast a*b^{-1}=a*g*b^{-1}=a*b^{-1}*g$.

Aufgrund des Satzes "Eine Untergruppe H von G ist genau dann Normalteiler, wenn für jedes $h\in H$ und $g\in G$ gilt: $g\circ h\circ g^{-1}\in H$." ist nun bewiesen, dass Z(G) ein Normalteiler von G ist.

lg f.l.o.