Sei
ein bijektiver Gruppenhomomorphismus. Man zeige, dass dann auch
ein Gruppenhomomorphismus ist.
Ist
eine bijektive Funktion, dann gilt für die Umkehrfunktion:
für alle ![{\displaystyle b\in B}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3bfc7c76f9438741796f449eae8ee7f6&mode=mathml)
für alle ![{\displaystyle a\in A}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=026638d7828e8287894f1cccedfaee9c&mode=mathml)
Homomorphismus:
Eine Abbildung
zwischen zwei Gruppen
und
, wobei für alle
gilt:
![{\displaystyle \varphi (a\circ b)=\varphi (a)*\varphi (b)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=c05fa06b529676633d67381b4191b61a&mode=mathml)
== Bijektivität einer Abbildung == :
== Weiterer Lösungsvorschlag ==
Sei
Z.Z.
(Phi ist ein Homomorphismus)
(Phi^-1 auf beide Seiten anwenden)
![{\displaystyle \varphi :G\to H\,\,\Rightarrow \,\,\varphi ^{-1}:H\to G}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=e6a0a5895c8cd87a541a81105f814056&mode=mathml)
Es gilt: ![{\displaystyle \varphi (a\circ b)=\varphi (a)\circ \varphi (b)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=629bba05de336ffb21f0891338ed55ec&mode=mathml)
Aus der Bijektivität von
lässt sich folgern:
(einfach die Definition der Bijektivität umdrehen)
Nun verküpfen wir
mit
:
![{\displaystyle \varphi ^{-1}\circ \varphi (g_{1}\circ g_{2})=\varphi ^{-1}(\varphi (g_{1}\circ g_{2}))=\varphi ^{-1}(\varphi (g_{1}))\circ \varphi ^{-1}(\varphi (g_{2}))\Leftrightarrow id_{G}(g_{1}\circ g_{2})=id_{G}(g_{1})\circ id_{G}(g_{2})\Rightarrow g_{1}\circ g_{2}=g_{1}\circ g_{2};\,\,\,g_{1},g_{2}\in G}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=0f4a6a0ff42a334970aff0925cf019fa&mode=mathml)
Somit ist
auch ein Gruppenhomomorphismus.