TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 385

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Sei ein bijektiver Gruppenhomomorphismus. Man zeige, dass dann auch ein Gruppenhomomorphismus ist.

Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine bijektive Funktion, dann gilt für die Umkehrfunktion:
für alle
für alle

Homomorphismus:
Eine Abbildung zwischen zwei Gruppen und , wobei für alle gilt:


== Bijektivität einer Abbildung == :

== Weiterer Lösungsvorschlag ==

Sei

Z.Z.

(Phi ist ein Homomorphismus)

(Phi^-1 auf beide Seiten anwenden)

Lösungsvorschlag von neo[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]


Es gilt:
Aus der Bijektivität von lässt sich folgern: (einfach die Definition der Bijektivität umdrehen)
Nun verküpfen wir mit :

Somit ist auch ein Gruppenhomomorphismus.