TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 40

Man beweise $\overline{z_1{z}_2}=\overline{z_1}\cdot \overline{z_2}$ und $\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}$.

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Lösungsvorschlag von Razvan

$\overline{z_1{z}_2}=\overline{z_1}\cdot \overline{z_2}$

Man kann das entweder mit $(a+i\cdot b)\cdot (c+i\cdot d)$ lösen, oder mit Polarkoordinaten $[a;\alpha ]\cdot [b;\beta ]$.

Ich werde es hier mit Polarkoordinaten lösen:

$\overline{z_1}=[a,\alpha ]$

$\overline{z_2}=[b,\beta ]$

$\overline{[a;\alpha ]\cdot [b;\beta ]}=\overline{[a\cdot b;\alpha +\beta ]}=[a\cdot b;-\alpha -\beta ]$

$\overline{[a;\alpha ]}\cdot \overline{[b;\beta ]}=[a;-\alpha ]\cdot [b;-\beta ]=[a\cdot b;-\alpha -\beta ]$

Wie wir hier sehen sind beide gleich.

$\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}$

Zur Erinnerung:

$z_1-z_2=(a-c)+i\cdot (b-d)$

Hier werde ich die kartesischen Koordinaten verwenden.

$z_1=a+i\cdot b$

$z_2=c+i\cdot d$

Linke Hälfte:

$\overline{z_1-z_2}=\overline{(a-c)+i\cdot (b-d)}=(a-c)-i\cdot (b-d)$

Rechte Hälfte:

$\overline{z1}-\overline{z2}=(a-i\cdot b)-(c-i\cdot d)=(a-c)+i\cdot (-b+d)=(a-c)-i\cdot (b-d)$

Wie wir sehen können, beides kommt auf das Gleiche hinaus.