TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 403

Von der Abbildung $f:{\left({\mathbb{Z}}_3\right)}^2\to {\left({\mathbb{Z}}_3\right)}^4$ sei bekannt, dass f ein Gruppenhomomorphismus bezüglich der Addition ist (die jeweils komponentenweise definiert sein soll), sowie dass $f(2,0)=(0,1,2,2),f(1,2)=(2,2,1,0)$. Man ermittle daraus $f\left(w\right)$ für alle $w\in ({\mathbb{Z}}_3{)}^2$

Hilfreiches

Gruppe

Eine Gruppe $(G,\circ )$ mit Funktion $\circ :G\times G\to G$ ist

• abgeschlossen bzgl. der Operation $\circ$ in $G$ mit $a,b\in G$ gilt $a\circ b\in G$
• assoziativ: $\mathrm{\forall }a,b,c\in G:a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$
• besitzt ein neutrales Element $e$: $\mathrm{\exists }e\in G:\mathrm{\forall }a\in G:a\circ e=e\circ a=a$
• sowie besitzt inverse Elemente $a^{-1}$ bzw. $a^{\prime }$: $\mathrm{\forall }a\in G:\mathrm{\exists }{a}^{-1}\in G:a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$

Homomorphismus

Homomorphismus

Seien $(G,\circ )$ und $(H,\star )$ Gruppen.

Eine Abbildung $\phi :G\to H$ heißt Homomorphismus, falls gilt: $\phi (a\circ b)=\phi (a)\star \phi (b)\mathrm{\forall }a,b\in G$.

Lösungsvorschlag von neo

$f(2,0)=(0,1,2,2)$
$f(1,2)=(2,2,1,0)$
$f(0,2)=(2,0,0,2)$
$f(2,2)=(2,1,2,1)$
$f(2,1)=(1,1,2,0)$
$f(1,1)=(1,2,1,2)$
$f(1,0)=(0,2,1,1)$
$f(0,1)=(1,0,0,1)$
$f(0,0)=(0,0,0,0)$

<!== ==Beispiel 403== Von der Abbildung $𝕗:{\left({\mathbb{Z}}_{\mathrm{𝟛}}\right)}^2\mapsto {\left({\mathbb{Z}}_{\mathrm{𝟛}}\right)}^4$ sei bekannt, dass $𝕗$ ein Gruppenhomomorphismus bezüglich der Addition ist (die jeweils komponentenweise definiert sein soll), sowie dass $𝕗(2,0)=(0,1,2,2)$, $𝕗(1,2)=(2,2,1,0)$. Man ermittle daraus $f\left(w\right)$ für alle $w\in ({\mathbb{Z}}_{\mathrm{𝟛}}{)}^2$ >

Hilfsmittel von Har203

Gruppe

Eine Gruppe ist ein geordnetes Paar $⟨G,\circ ⟩$ bestehend aus einer Menge $G$ und einer inneren zweistelligen Verknüpfung

$\circ :G\times G\to G,(a,b)\mapsto a\circ b\in G,$

die „abgeschlossen“ ist (diese Eigenschaft zu prüfen, wird bei algebraischen Strukturen oft übersehen)

 $a,b\in G⟹𝐚\mathbf{\circ }𝐛\mathbf{\in }𝐆$

und, die die drei geforderten Gruppenaxiome erfüllt:

1. Assoziativität
   • $\mathrm{\forall }a,b,c\in G$ gilt$:(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$
2. Existenz eines neutralen Elementes
   • Es gibt ein neutrales Element $e\in G$ mit $\mathrm{\forall }a\in G$ gilt$:a\circ e=e\circ a=a$ (falls dieses existiert, ist dieses eindeutig).
3. Für alle Gruppenelemente $a$ existent ein inverses Element
   • $\mathrm{\forall }a\in G$ gilt$:\mathrm{\exists }{a}^{-1}\in G$ mit$:a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$.

Die Elemente einer Gruppe $⟨G,\circ ⟩$ heißen kurz Gruppenelemente.

Abelsche bzw. kommutative Gruppe

Eine Gruppe $⟨G,\circ ⟩$ heißt abelsch oder kommutativ, wenn zusätzlich das folgende Axiom erfüllt ist:

1. Kommutativität
   • $\mathrm{\forall }a,b\in G$ gilt$:a\circ b=b\circ a$.

Ordnung, Mächtigkeit und Index

Sei $⟨G,\circ ⟩$ eine Gruppe. Die Mächtigkeit $|G|$ wird auch als Ordnung der Gruppe bezeichnet. Für eine endliche Gruppe $G_n=\{a_1,a_2,\dots ,a_n\}$ ist die Ordnung ($n=ord(G)$) die Anzahl $n$ der Gruppenelemente. Sei $U$ Untergruppe der endlichen Gruppe $G_n$, also $U\le G$. Die Anzahl der Links- bzw. Rechtsnebenklassen von $U$ in $G$ wird als Index $|G:U|$ von $G$ nach $U$ bezeichnet.

Restklasse

Es sei $m\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}$ eine ganze Zahl und $a\in \mathbb{Z}$ eine beliebige ganze Zahl. Die Restklasse von $a$ modulo $m$, geschrieben als

$a+m\cdot \mathbb{Z},$

ist die Äquivalenzklasse von $a$ bezüglich der Kongruenz modulo $m$, also die Menge der Ganzzahlen, die bei Division durch $m$ den gleichen Rest wie $a$ ergeben. Sie besteht somit aus allen ganzen Zahlen $b$, die sich aus $a$ durch die Addition ganzzahliger Vielfacher von $m$ ergeben:

$a+m\cdot \mathbb{Z}=\{b|b=a+k\cdot m$, für ein $k\in \mathbb{Z}\}=\{b|b\equiv amodm)\}$.

Ein Element einer Restklasse bezeichnet man auch als Repräsentant der Restklasse. Häufig verwendet man die Standardrepräsentanten $\{\bar{0},\bar{1},\bar{2},\dots ,\overline{m-1}\}$. Die Menge aller Restklassen modulo $m$ schreibt man auch als $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ oder ${\mathbb{Z}}_m$. Sie hat $m$ Elemente und die Struktur einer Gruppe und wird auch Restklassengruppe genannt.

Gruppenhomomorphismus

Eine Abbildung $\phi :G\mapsto H$ zwischen zwei Gruppen $⟨G,\circ ⟩$ und $⟨H,\star ⟩$ heißt Homomorphismus (oder Gruppenhomomorphismus), wenn für alle $a,b\in G$ gilt

$\phi (a\circ b)=\phi (a)\star \phi (b)$.

Ist $\phi$ bijektiv, so heißt $\phi$ Isomorphismus. Die inverse Abbildung ${\phi }^{-1}:H\to G$ ist dann auch ein Isomorphismus. Existiert zwischen zwei Gruppen $G$ und $H$ ein Isomorphismus, so heißen $G$ und $H$ isomorph, und man schreibt dafür $G\cong H$. Ist $\phi :G\to H$ ein Gruppenhomomorphismus, so wird das neutrale Element $e_G$ von $G$ auf das neutrale Element $e_H$ von $H$ abgebildet, d.h.

$\phi (e_G)=e_H$.

Weiters gilt

$\phi (a^{-1})=\phi (a{)}^{-1}\mathrm{\forall }a\in G$.

Lösung von Har203

Wir wissen, dass die Gruppe $⟨{\left({\mathbb{Z}}_{\mathrm{𝟛}}\right)}^2,{+}_2⟩$ mit der zweistelligen Addition ${+}_2$ komponentenweise definiert ist. D.h., dass

$\mathrm{\forall }a,b,c,d\in \mathbb{Z}$ gilt$:(a,b),(c,d)\in {\left({\mathbb{Z}}_{\mathrm{𝟛}}\right)}^2$ mit$:(a,b){+}_2(c,d)=(a+c,b+d)\in {\left({\mathbb{Z}}_{\mathrm{𝟛}}\right)}^2$.

und vom Gruppenhomomorphismus wissen wir, dass die Abbildungen der beiden Elemente $(2,0)$ und $(1,2)$ bekannt sind:

$𝕗(2,0)=(0,1,2,2)$ und $𝕗(1,2)=(2,2,1,0)$. 

Die Operationstafel der Gruppe lautet ($\text{grün}$ ist das neutrale Element):

$\begin{array}{cccccccccc}{\mathbf{+}}_{\mathrm{𝟐}}& \mathbf{(}\mathrm{𝟎},\mathrm{𝟎}\mathbf{)}& \mathbf{(}\mathrm{𝟎},\mathrm{𝟏}\mathbf{)}& \mathbf{(}\mathrm{𝟎},\mathrm{𝟐}\mathbf{)}& \mathbf{(}\mathrm{𝟏},\mathrm{𝟎}\mathbf{)}& \mathbf{(}\mathrm{𝟏},\mathrm{𝟏}\mathbf{)}& \mathbf{(}\mathrm{𝟏},\mathrm{𝟐}\mathbf{)}& \mathbf{(}\mathrm{𝟐},\mathrm{𝟎}\mathbf{)}& \mathbf{(}\mathrm{𝟐},\mathrm{𝟏}\mathbf{)}& \mathbf{(}\mathrm{𝟐},\mathrm{𝟐}\mathbf{)}\\ \mathbf{(}\mathrm{𝟎},\mathrm{𝟎}\mathbf{)}& (0,0)& (0,1)& (0,2)& (1,0)& (1,1)& (1,2)& (2,0)& (2,1)& (2,2)\\ \mathbf{(}\mathrm{𝟎},\mathrm{𝟏}\mathbf{)}& (0,1)& (0,2)& (0,0)& (1,1)& (1,2)& (1,0)& (2,1)& (2,2)& (2,0)\\ \mathbf{(}\mathrm{𝟎},\mathrm{𝟐}\mathbf{)}& (0,2)& (0,0)& (0,1)& (1,2)& (1,0)& (1,1)& (2,2)& (2,0)& (2,1)\\ \mathbf{(}\mathrm{𝟏},\mathrm{𝟎}\mathbf{)}& (1,0)& (1,1)& (1,2)& (2,0)& (2,1)& (2,2)& (0,0)& (0,1)& (0,2)\\ \mathbf{(}\mathrm{𝟏},\mathrm{𝟏}\mathbf{)}& (1,1)& (1,2)& (1,0)& (2,1)& (2,2)& (2,0)& (0,1)& (0,2)& (0,0)\\ \mathbf{(}\mathrm{𝟏},\mathrm{𝟐}\mathbf{)}& (1,2)& (1,0)& (1,1)& (2,2)& (2,0)& (2,1)& (0,2)& (0,0)& (0,1)\\ \mathbf{(}\mathrm{𝟐},\mathrm{𝟎}\mathbf{)}& (2,0)& (2,1)& (2,2)& (0,0)& (0,1)& (0,2)& (1,0)& (1,1)& (1,2)\\ \mathbf{(}\mathrm{𝟐},\mathrm{𝟏}\mathbf{)}& (2,1)& (2,2)& (2,0)& (0,1)& (0,2)& (0,0)& (1,1)& (1,2)& (1,0)\\ \mathbf{(}\mathrm{𝟐},\mathrm{𝟐}\mathbf{)}& (2,2)& (2,0)& (2,1)& (0,2)& (0,0)& (0,1)& (1,2)& (1,0)& (1,1)\end{array}$

Weiters wissen wir, dass die Gruppe $⟨{\left({\mathbb{Z}}_{\mathrm{𝟛}}\right)}^4,{+}_4⟩$ ebenfalls komponentenweise definiert ist. D.h., dass

$\mathrm{\forall }a,b,c,d,e,f,g,h\in {\left({\mathbb{Z}}_{\mathrm{𝟜}}\right)}^2$ gilt$:(a,b,c,d),(e,f,g,h)\in {\left({\mathbb{Z}}_{\mathrm{𝟛}}\right)}^4$ mit$:(a,b,c,d){+}_4(e,f,g,h)=(a+e,b+f,c+g,d+h)\in {\left({\mathbb{Z}}_{\mathrm{𝟛}}\right)}^4$.

Für alle $a,b\in ⟨{\left({\mathbb{Z}}_{\mathrm{𝟛}}\right)}^2,{+}_2⟩$ muss laut Homomorphismus gelten:

$\phi (a{+}_{2}b)=\phi (a){+}_4\phi (b)$.

Die Abbildungstafel der Elemente lautet:

1. $\text{rot}$ sind die vordefinierten abgebildeten Elemente.
2. $\text{grün}$ sind die beiden neutralen Elemente ($\in {\left({\mathbb{Z}}_{\mathrm{𝟛}}\right)}^2$ bzw. $\in {\left({\mathbb{Z}}_{\mathrm{𝟛}}\right)}^4$).
3. $\text{blau}$ sind die berechneten abgebildeten Elemente.

$\begin{array}{cccc}Schritt-\mathrm{\#}& \phi ((x,y))& =𝝋\mathbf{(}\mathbf{(}𝐚,𝐛\mathbf{)}{\mathbf{+}}_{\mathrm{𝟐}}\mathbf{(}𝐜,𝐝\mathbf{)}\mathbf{)}& =𝝋\mathbf{(}\mathbf{(}𝐚,𝐛\mathbf{)}\mathbf{)}{+}_4𝝋\mathbf{(}\mathbf{(}𝐜,𝐝\mathbf{)}\mathbf{)}\\ 1& \phi ((0,0))& & (0,0,0,0)\\ 4& \phi ((0,1))& =\phi ((2,0){+}_2(0,1))& =(0,1,2,2){+}_4(1,2,1,2)=(1,0,0,1)\\ 2& \phi ((0,2))& =\phi ((1,2){+}_2(2,0))& =(2,2,1,0){+}_4(0,1,2,2)=(2,0,0,2)\\ 5& \phi ((1,0))& =\phi ((2,0){+}_2(2,0))& =(0,1,2,2){+}_4(0,1,2,2)=(0,2,1,1)\\ 3& \phi ((1,1))& =\phi ((1,2){+}_2(0,2))& =(2,2,1,0){+}_4(2,0,0,2)=(1,2,1,2)\\ 0& \phi ((1,2))& & (2,2,1,0)\\ 0& \phi ((2,0))& & (0,1,2,2)\\ 7& \phi ((2,1))& =\phi ((2,0){+}_2(0,1))& =(0,1,2,2){+}_4(1,0,0,1)=(1,1,2,0)\\ 6& \phi ((2,2))& =\phi ((1,1){+}_2(1,1))& =(1,2,1,2){+}_4(1,2,1,2)=(2,1,2,1)\end{array}$

Die Abbildung $\phi$ mit$:{\left({\mathbb{Z}}_{\mathrm{𝟛}}\right)}^2\mapsto {\left({\mathbb{Z}}_{\mathrm{𝟛}}\right)}^4$ kann kein Isomorphismus sein, da die Ordnung (= Anzahl der Elemente) der Mengen ${\left({\mathbb{Z}}_{\mathrm{𝟛}}\right)}^2$ unterschiedlich sind. $|{\left({\mathbb{Z}}_{\mathrm{𝟛}}\right)}^2|=3^2=9$ und $|{\left({\mathbb{Z}}_{\mathrm{𝟛}}\right)}^4|=3^4=81$. Damit kann es zwischen diesen beiden Mengen keine bijektiv Abbildung geben.