Sei
die Gruppe aus Bsp. 397). Man bestimme die vom Element
erzeugte Untergruppe
sowie deren Nebenklassen in
.
![{\displaystyle U=\{{\overline {1}},{\overline {8}}\}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=565c0bb81bdbd00d3156589b334eafb6&mode=mathml)
Assoziativität ist gegeben, da sie in ganz
gilt.
![{\displaystyle {\overline {1}}*{\overline {1}}={\overline {1}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=2d0693cdb056df3d0f3fe97a7a5d00bc&mode=mathml)
![{\displaystyle {\overline {1}}*{\overline {8}}={\overline {8}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=0d1b8fb6d4901558ce1ce9ec2bc6fe7e&mode=mathml)
![{\displaystyle {\overline {8}}*{\overline {1}}={\overline {8}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=c6c8433be1b53b6a65e2c3113bcd6921&mode=mathml)
![{\displaystyle {\overline {8}}*{\overline {8}}={\overline {1}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=efbe64cee452cdcdc721f4a9403dbee4&mode=mathml)
![{\displaystyle \forall a,b\in U\mid a\circ b\in U\Rightarrow abgeschlossen}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=27ec4cdbb77d5107d5005e1a14171472&mode=mathml)
![{\displaystyle \forall a\in U\exists e\in U\mid a\circ e=e\circ a=a\to e={\overline {1}}\Rightarrow \,neutrales\,Element}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=9f3428601492b8684b71969fa9122e8c&mode=mathml)
![{\displaystyle ({\overline {8}})^{-1}={\overline {8}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=93e95bfd7d489e7b517e56fae6303194&mode=mathml)
![{\displaystyle ({\overline {1}})^{-1}={\overline {1}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=9fbaf093c465fecd4752392234aedf42&mode=mathml)
![{\displaystyle \forall a\in U\exists a^{-1}\in U\mid a\circ a^{-1}=e\Rightarrow inverse\,Elemente\,existieren}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=daaf76be058debb5fa663d06cfb9e760&mode=mathml)
Damit wäre bewiesen, dass
die von
erzeugte Untergruppe von
ist.
Linksnebenklasse: ![{\displaystyle a\circ U=\{a\circ u\mid u\in U\}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=695d8b0c18bb214a54573cf80fda8e90&mode=mathml)
![{\displaystyle L_{1}={\overline {1}}\circ U=\{{\overline {8}},{\overline {1}}\}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=e801765f898e4385c40855ef96937677&mode=mathml)
![{\displaystyle L_{2}={\overline {2}}\circ U=\{{\overline {7}},{\overline {2}}\}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=1a32659bf4d4b8300b301dff52e4010c&mode=mathml)
![{\displaystyle L_{3}={\overline {4}}\circ U=\{{\overline {5}},{\overline {4}}\}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=04a5a5e57d830dbe27129438372c128e&mode=mathml)
![{\displaystyle L_{4}={\overline {5}}\circ U=\{{\overline {4}},{\overline {5}}\}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3f430d2f11c4838428ce682f5f999f33&mode=mathml)
![{\displaystyle L_{5}={\overline {7}}\circ U=\{{\overline {2}},{\overline {7}}\}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=f9a099c6af70e6409cfc122bd95d4843&mode=mathml)
![{\displaystyle L_{6}={\overline {8}}\circ U=\{{\overline {1}},{\overline {8}}\}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=83dc0e1ae8de5a550c67edb0fd6550d7&mode=mathml)
![{\displaystyle L=\{\{{\overline {8}},{\overline {1}}\},\{{\overline {7}},{\overline {2}}\},\{{\overline {5}},{\overline {4}}\}\}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=2ec95b1abd29504b16375830a233b55c&mode=mathml)
Da die Restklassenmultiplikation kommutativ ist, folgt:
und daher ist die Rechtsnebenklasse gleich der Linksnebenklasse. Dies ist außerdem die Begingung dafür, dass eine Untergruppe ein Normalteiler ist. Also gilt:
ist Normalteiler von
: