TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 405

Sei $({\Gamma }_9,\ast )$ die Gruppe aus Bsp. 397). Man bestimme die vom Element $\bar{8}$ erzeugte Untergruppe sowie deren Nebenklassen in ${\Gamma }_9$.

Lösungsvorschlag von neo

$U=\{\bar{1},\bar{8}\}$
Assoziativität ist gegeben, da sie in ganz ${\Gamma }_9$ gilt.

$\bar{1}\ast \bar{1}=\bar{1}$
$\bar{1}\ast \bar{8}=\bar{8}$
$\bar{8}\ast \bar{1}=\bar{8}$
$\bar{8}\ast \bar{8}=\bar{1}$
$\mathrm{\forall }a,b\in U\mid a\circ b\in U\Rightarrow abgeschlossen$

$\mathrm{\forall }a\in U\mathrm{\exists }e\in U\mid a\circ e=e\circ a=a\to e=\bar{1}\Rightarrow neutralesElement$

$(\bar{8}{)}^{-1}=\bar{8}$
$(\bar{1}{)}^{-1}=\bar{1}$
$\mathrm{\forall }a\in U\mathrm{\exists }{a}^{-1}\in U\mid a\circ a^{-1}=e\Rightarrow inverseElementeexistieren$

Damit wäre bewiesen, dass $U=\{\bar{1},\bar{8}\}$ die von $\bar{8}$ erzeugte Untergruppe von ${\Gamma }_9$ ist.

Linksnebenklasse: $a\circ U=\{a\circ u\mid u\in U\}$
$L_1=\bar{1}\circ U=\{\bar{8},\bar{1}\}$
$L_2=\bar{2}\circ U=\{\bar{7},\bar{2}\}$
$L_3=\bar{4}\circ U=\{\bar{5},\bar{4}\}$
$L_4=\bar{5}\circ U=\{\bar{4},\bar{5}\}$
$L_5=\bar{7}\circ U=\{\bar{2},\bar{7}\}$
$L_6=\bar{8}\circ U=\{\bar{1},\bar{8}\}$

$L=\{\{\bar{8},\bar{1}\},\{\bar{7},\bar{2}\},\{\bar{5},\bar{4}\}\}$
Da die Restklassenmultiplikation kommutativ ist, folgt: $a\circ U=U\circ a$ und daher ist die Rechtsnebenklasse gleich der Linksnebenklasse. Dies ist außerdem die Begingung dafür, dass eine Untergruppe ein Normalteiler ist. Also gilt:

$U$ ist Normalteiler von ${\Gamma }_9$: $\to U⊴{\Gamma }_9$