TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 410

Sei $G$ eine Gruppe, deren Ordnung $|G|$ eine Primzahl ist. Man zeige, dass $G$ nur die trivialen Untergruppen $e$ und $G$ hat.

Hilfreiches

Satz von Lagrange: Ist $(G,\circ )$ endliche Gruppe, so ist die Ordnung $|U|$ einer Untergruppe $U\le G$ stets Teiler der Gruppenordnung $|G|$, und es gilt $|G:U|=|G|/|U|$.

Lösungsvorschlag von neo

Laut Satz von Lagrange gilt: $|U|\mid |G|\to |G|=m|U|$
Wenn $|G|\in \mathbb{P}\Rightarrow 1\mid |G|\wedge |G|\mid |G|\Rightarrow U_1=\{e\},U_2=G$