TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 408

Sei $G$ eine Gruppe, deren Ordnung $|G|$ eine Primzahl ist. Man zeige, dass $G$ nur die trivialen Untergruppen ${e}$ und $G$ hat.

Hilfreiches

Satz von Lagrange: Ist $(G,\circ )$ endliche Gruppe, so ist die Ordnung $|U|$ einer Untergruppe $U\leq G$ stets Teiler der Gruppenordnung $|G|$, und es gilt $|G:U|=|G|/|U|$.

Lösungsvorschlag von neo

Laut Satz von Lagrange gilt: $|U|\mid |G|\to |G|=m|U|$
Wenn $|G|\in \mathbb {P} \Rightarrow 1\mid |G|\land |G|\mid |G|\Rightarrow U_{1}=\{e\},U_{2}=G$