TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 41

Man beweise ${\overline {\left({\frac {z_{1}}{z_{2}}}\right)}}={\frac {\overline {z_{1}}}{\overline {z_{2}}}}$.

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Lösungsvorschlag von Aaaaaadm

Sei:

${\begin{aligned}z_{1}&=[a;\alpha ]\\z_{2}&=[b;\beta ]\end{aligned}}$

Dann können wir ${\overline {\left({\frac {z_{1}}{z_{2}}}\right)}}$ als ${\overline {\left({\frac {[a;\alpha ]}{[b;\beta ]}}\right)}}$ darstellen.

Durch die Divisionsregel der komplexen Zahlen in Polardarstellung$\left({\frac {[r_{1};{\varphi }_{1}]}{[r_{2};{\varphi }_{2}]}}=\left[{\frac {r_{1}}{r_{2}}};\varphi _{1}-\varphi _{2}\right]\right)$ können wir die zwei Zahlen dividieren und dann das konjugierte Ergebnis bilden:

${\overline {\left({\frac {(a;\alpha )}{(b;\beta )}}\right)}}={\overline {\left[{\frac {a}{b}};\alpha -\beta \right]}}=\left[{\frac {a}{b}};-\alpha +\beta \right]$

Jetzt müssen wir noch zeigen, dass dies dasselbe wie ${\frac {\overline {z_{1}}}{\overline {z_{2}}}}$ ist. Dafür dividieren wir die beiden konjugiert komplexen Zahlen. --~~~~

${\frac {\overline {z_{1}}}{\overline {z_{2}}}}={\frac {[a;-\alpha ]}{[b;-\beta ]}}=\left[{\frac {a}{b}};-\alpha +\beta \right]$

qed.