TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 415
Untersuchen Sie, ob die folgenden Strukturen Ringe, Integritätsringe bzw. Körper sind:
M = {0, 1} mit der Addition modulo 2 und dem Produkt a · b = 0 für alle a, b ∈ M
Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Lösungsvorschlag von Tabaluga34 / UnHold[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Abgeschlossenheit der beiden Operationen kann leicht durch eine Operationstafel gezeigt werden.
+ | 0 | 1 |
---|---|---|
0 | 0 | 1 |
1 | 1 | 0 |
* | 0 | 1 |
---|---|---|
0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 1 |
Assoziativität
(+):
(a + b) + c = a + b + c = a + (b + c)
(*):
(a * b) * c = a * b * c = a * (b * c)
Neutrales Element
(+):
a + e = e + a = a -> e = 0
(*):
a * e = e * a = a -> e = 1
Inverses Elemente:
(+):
a + a^(-1) = e -> funktioniert für alle Elemente (0 + 0 = 0 / 1 + 1 = 0) (Achtung modulo 2)
(*):
a * a^(-1) = e -> funktioniert nicht für alle Elemente (Bsp: 0 * 0 = 0 / 1 * 0 = 0 (Fehler))
Kommutativ:
(+):
a + b = b + a
(*):
Nicht nötig, da keine inversen Elemente existieren
-> Folglich handelt es sich bei dieser Struktur um einen Integritätsring, da keine Multiplikation zweier von Null verschiedener Elemente 0 ergeben (Nullteiler) (Siehe Operationstafel *).
Meiner Meinung nach falsch:
-> es existieren zwei "mögliche neutrale Elemente", 0 & 1, daher gibt es kein neutrales Element
-> von daher auch kein Integritätsring, da kein Einselement vorhanden (obwohl Kommutativität und Nullteilerfreiheit gegeben ist)
-> ist bloß ein Ring