TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 417

Untersuchen Sie, ob die folgenden Strukturen Ringe, Integritätsringe bzw. Körper sind:

$M=\mathbf {\mathbb {Q} [{\sqrt {6}}]} =\{\,a+b\cdot {\sqrt {\mathbf {6} }}\,|\,a,b\in \mathbb {Q} \,\}$ mit der Addition und Multiplikation aus $\mathbb {R}$.

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Lösungsvorschlag von Tabaluga34 / UnHold

Abgeschlossenheit der beiden Operationen kann leicht durch eine Operationstafel gezeigt werden.

+	0	1
0	0	1
1	1	0

*	0	1
0	0	0
1	0	1

Assoziativität

(+):

(a + b) + c = a + b + c = a + (b + c)

(*):

(a * b) * c = a * b * c = a * (b * c)

Neutrales Element

(+):

a + e = e + a = a -> e = 0

(*):

a * e = e * a = a -> e = 1

Inverses Elemente:

(+):

a + a^(-1) = e -> funktioniert für alle Elemente (0 + 0 = 0 / 1 + 1 = 0) (Achtung modulo 2)

(*):

a * a^(-1) = e -> funktioniert nicht für alle Elemente (Bsp: 0 * 0 = 0 / 1 * 0 = 0 (Fehler))

Kommutativ:

(+):

a + b = b + a

(*):

Nicht nötig, da keine inversen Elemente existieren

-> Folglich handelt es sich bei dieser Struktur um einen Integritätsring, da keine Multiplikation zweier von Null verschiedener Elemente 0 ergeben (Nullteiler) (Siehe Operationstafel *).

Meiner Meinung nach falsch:

-> es existieren zwei "mögliche neutrale Elemente", 0 & 1, daher gibt es kein neutrales Element

-> von daher auch kein Integritätsring, da kein Einselement vorhanden (obwohl Kommutativität und Nullteilerfreiheit gegeben ist)

-> ist bloß ein Ring

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Hilfsmittel von Har203

Ring

Eine algebraische Struktur $\left\langle R,+,\cdot \right\rangle$ mit zwei binären Operationen heißt Ring, wenn die folgenden drei Eigenschaften erfüllt sind:

1. $\left\langle R,+\right\rangle$ ist eine kommutative Gruppe (mit neutralem Element $0$),
2. $\left\langle R,\cdot \right\rangle$ ist eine Halbgruppe, und
3. es gelten die Distributivgesetze:

$\left.{\begin{aligned}a\cdot (b+c)&=a\cdot b+a\cdot c\\(a+b)\cdot c&=a\cdot c+b\cdot c\end{aligned}}\qquad \right\rbrace \qquad \forall \,a,b,c\in R.$

Besitzt $R$ bezüglich $\cdot$ ein neutrales Element, so nennt man $R\,$ Ring mit Einselement, und ist $R\,$ bezüglich $\cdot$ kommutativ, so nennt man $R\,$ kommutativen Ring.

Nullteiler

In einem Ring kann das Produkt zweier von $0$ verschiedener Elemente trotzdem $0$ sein. Z.B. gilt in $\mathbb {Z} _{6}$ die Beziehung ${\overline {2}}\cdot {\overline {3}}={\overline {6}}={\overline {0}}$. Man nennt im Allgemeinen ein Element $a\neq 0$ eines Ringes $R$ Nullteiler, wenn es ein $b\neq 0$ aus $R$ gibt, so dass $a\cdot b=0$ oder $b\cdot a=0$ ist. Dieses $b$ ist damit natürlich auch ein Nullteiler. Ringe ohne Nullteiler werden gesondert betrachtet.

Integritätsring

Ein kommutativer Ring mit Einselement ohne Nullteiler heißt Integritätsring.

Körper

Ein kommutativer Ring $\left\langle K,+,\cdot \right\rangle$ mit Einselement $1\neq 0$ in dem jedes Element $a\neq 0$ eine Einheit ist, also ein multiplikatives Inverses besitzt, heißt ein Körper.

Gruppe

Eine Gruppe ist ein geordnetes Paar $\left\langle G,\circ \right\rangle$ bestehend aus einer Menge $G$ und einer inneren zweistelligen Verknüpfung

$\circ \colon \,G\times G\to {G},\,(a,b)\mapsto {a}\circ b\,\in G\,,$
 $a,b\in G\implies \mathbf {a\circ b\in G}$

und, die die drei geforderten Gruppenaxiome erfüllt:

1. Assoziativität
   • $\forall \,a,b,c\,\in G$ gilt$\colon \;(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$
2. Existenz eines neutralen Elementes
   • Es gibt ein neutrales Element $e\in G$ mit $\forall \,a\in G$ gilt$\colon \;a\circ e=e\circ a=a$ (falls dieses existiert, ist dieses eindeutig).
3. Für alle Gruppenelemente $a$ existiert ein inverses Element
   • $\forall \,a\in G$ gilt$\colon \;\exists \,a^{-1}\in G$ mit$\colon \;a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$.

Die Elemente einer Gruppe $\left\langle G,\circ \right\rangle$ heißen kurz Gruppenelemente.

Abelsche bzw. kommutative Gruppe

Eine Gruppe $\left\langle G,\circ \right\rangle$ heißt abelsch oder kommutativ, wenn zusätzlich das folgende Axiom erfüllt ist:

1. Kommutativität
   • $\forall \,\,a,b\,\in G$ gilt$\colon \;a\circ b=b\circ a$.

Beweis ${\sqrt {6}}\notin \mathbb {Q}$

Wir nehmen an, dass der Ausdruck ${\sqrt {6}}$ rational ist und stellen diesen in der bekannten Form der rationalen Zahlen dar, wobei der Bruch in gekürzter Form seien soll, also sind $\mathbf {p,q}$ teilerfremd, also $\,p\perp q\,$.

${\begin{aligned}{\sqrt {6}}={\frac {p}{q}}\quad \vert \,(.)^{2}\quad \implies &&6={\frac {p^{2}}{q^{2}}}\quad \vert \,\cdot \,q^{2}\quad \implies &&6\cdot q^{2}=\color {red}2\cdot \color {black}(3\cdot q^{2})=p^{2}\quad \implies &&2\mid {p^{2}}\quad (p^{2}\,{\text{ gerade}})\quad \implies &&\\\implies &&2\mid {p}\quad (p{\text{ gerade }})\quad \implies &&\,\exists \,o\in \mathbb {N} \colon \,o={\frac {p}{2}}\quad \implies &&2\cdot (3\cdot q^{2})=(2\cdot o)^{2}\quad \implies &&\\\implies &&2\cdot 3\cdot q^{2}=4\cdot o^{2}\quad \vert \,(\,\colon 2)\quad \implies &&3\cdot q^{2}=\color {red}2\cdot \color {black}o^{2}\quad \implies &&\,2\mid {q^{2}}\quad (q^{2}\,{\text{ gerade}})\quad \implies &&\\\implies &&2\mid {q}\quad (q\,{\text{ gerade}})\quad \implies &&{\text{p, q nicht teilerfremd}}\quad \implies &&{\text{ Widerspruch zu }}\,{\frac {p}{q}}\,{\text{ gekürzt}}.\qquad \end{aligned}}$

Da die linke Seite einen Faktor von $2$ beinhaltet, ist diese Seite gerade. Als Gleichung muss auch die rechte Seite gerade sein. Somit ist $p^{2}$ eine gerade Zahl. Ist $p^{2}$ gerade, dann muss auch $p$ selbst eine gerade Zahl sein. Dann gibt es eine Zahl $o\in \mathbb {N}$ mit $\,p=2\cdot o$, also $o={\frac {p}{2}}$. Durch einsetzen von $2\cdot o$, erhalten wir analog $2\mid {q^{2}}$ und $2\mid {q}$. Damit sind $p,q$ nicht teilerfremd. Das ist ein Widerspruch zur Annahme, dass, der Bruch ${\frac {p}{q}}$ in gekürzter Form angegeben wurde. $\qquad \blacksquare$

Lösung von Har203

Sei $\left\langle M,+,\cdot \right\rangle$ eine algebraische Struktur mit der Grundmenge (die Menge $M$ wird öfters auch als $R$ angegeben - es wird dabei immer $M$ gemeint. Aber $\mathbb {R}$ ist immer korrekt.

$M=\mathbf {\mathbb {Q} [{\sqrt {6}}]} =\{\,a+b\cdot {\sqrt {\mathbf {6} }}\,\vert \,a,b\in \mathbb {Q} \,\}$ mit der Addition und Multiplikation aus $\mathbb {R}$.

Zuerst einmal einige Grundgedanken. Wenn wir uns eine Zahl in der Form $a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {6}}\,$ anschauen, dann hätten wir gerne, dass der eine Teil ein rein rationaler Anteil $a_{i}\in \mathbb {Q}$ ist und der zweite Teil ein rein reeller Teil $a_{w}\cdot {\sqrt {6}}\in (\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} )\cup \{0\}$ ist. Dieses Verhalten wird durch die Wurzel ${\sqrt {6}}\,$ bestimmt.

Grundsätzlich geht es später darum, ob das Produkt bezüglich $\mathbf {\cdot }$ den Wert $\mathbf {0}$ annehmen kann, auch wenn $a,b\in M$, aber beide ungleich $0$ sind (Nullteiler).

• Den Beweis für $\mathbf {{\sqrt {6}}\notin \mathbb {Q} }$ habe ich oben in den Hilfsmittel eingefügt.

D.h. wir haben wirklich einen rein rationalen Anteil $a_{i}$ und einen rein reellen Anteil $a_{w}\cdot {\sqrt {6}}$. Diese beiden Teile sind disjunkt mit der Ausnahme der $\{\,0\,\}$.

Für die weiteren Beweise werden wir folgende drei Variable aus der Menge $M$ verwenden

$a=a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {6}},\quad b=b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {6}},\quad c=c_{i}+c_{w}\cdot {\sqrt {6}}\quad$ mit $a_{i},a_{w},b_{i},b_{w},c_{i},c_{w}\in \mathbb {Q} \implies a,b,c\in M$.

Für einen Ring $\left\langle M,+,\cdot \right\rangle$ werden wir folgende drei Eigenschaften prüfen:

1. $\left\langle M,+\right\rangle$ ist eine kommutative Gruppe (mit neutralem Element $0$),
2. $\left\langle M,\cdot \right\rangle$ ist eine Halbgruppe, und
3. es gelten die Distributivgesetze

Zuerst die Gruppe mit den geforderten Gruppenaxiomen in $\left\langle M,+\right\rangle$:

1. Assoziativität: $\forall \,a,b,c\,\in M$ gilt$\colon \;(a+b)+c=a+(b+c)$
2. Existenz eines neutralen Elementes: Es gibt ein neutrales Element $0\in M$ mit $\forall \,a\in M$ gilt$\colon \;a+0=0+a=a$
3. Für alle Gruppenelemente $a$ existiert ein inverses Element: $\forall \,a\in M$ gilt$\colon \;\exists \,(-a)\in M$ mit$\colon \;a+(-a)=(-a)+a=0$.
4. Kommutativität: Für alle Elemente $a,\,b\in M$ gilt$\colon :\,a+b=b+a$

• • GRUPPE

• Abgeschlossenheit bezüglich +: Wir prüfen zuerst die Abgeschlossenheit von $\left\langle M,+\right\rangle$

$a+b=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {6}})+(b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {6}})=(a_{i}+b_{i})+(a_{w}+b_{w})\cdot {\sqrt {6}})\quad \,$ mit $(a_{i}+b_{i})$ und $(a_{w}+b_{w})\in \mathbb {Q}$.

D.h. die Summe einer Addition ist wieder in der Struktur $M$ enthalten $\implies$die Struktur $\left\langle M,\mathbf {+} \right\rangle$ ist abgeschlossen.

• Assoziativität bezüglich +:

 $\,\forall \,a,b,c\,\in M\,$ gilt$\colon \;(a+b)+c=a+(b+c)$

Da wir mit der Addition aus $\mathbb {R}$ arbeiten, gilt natürlich die Assoziativität bezüglich +. Wir können natürlich auch nachrechen (bei der Addition noch einfach):

$(a+b)+c=((a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {6}})+(b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {6}}))+(c_{i}+c_{w}\cdot {\sqrt {6}})=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {6}})+((b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {6}})+(c_{i}+c_{w}\cdot {\sqrt {6}}))=a+(b+c)$

• Existenz eines neutralen Elementes bezüglich +: Es gibt ein neutrales Element $0\in M$ mit $\forall \,a\in M$ gilt$\colon \;a+0=0+a=a$. Wir nehmen an, dass das neutrale Element bezüglich der Addition $(0+0\cdot {\sqrt {6}})\in M$ sein wird:

$(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {6}})+(0+0\cdot {\sqrt {6}})=((a_{i}+0)+(a_{w}+0)\cdot {\sqrt {6}})=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {6}}=((0+a_{i})+(0+a_{w})\cdot {\sqrt {6}})=(0+0\cdot {\sqrt {6}})+(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {6}})$

D.h. das neutrale Element bezüglich + ist $(0+0\cdot {\sqrt {6}})\in M$.

• Inverse Element: Für alle Elemente $a\in \left\langle M,+\right\rangle$ existiert ein inverses Element:

$\forall \,a\in M$ gilt$\colon \;\exists \,(-a)\in M$ mit$\colon \;a+(-a)=(-a)+a=0$. 

Das Inverse Element zu $a=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {6}})$ wird $(-a)=((-a_{i})+(-a_{w})\cdot {\sqrt {6}}$ sein ${\begin{aligned}a+(-a)&=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {6}})+((-a_{i})+(-a_{w})\cdot {\sqrt {6}})=((a_{i}+(-a_{i}))+(a_{w}+(-a_{w}))\cdot {\sqrt {6}})=(0+0\cdot {\sqrt {6}})=\\&=(((-a_{i})+a_{i})+(((-a_{w})+a_{w})\cdot {\sqrt {6}}))=(((-a_{i})+(-a_{w})\cdot {\sqrt {6}}+(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {6}}))\end{aligned}}$

D.h. das inverse Element zu $a=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {6}})$ bezüglich + ist $(-a)=((-a_{i})+(-a_{w})\cdot {\sqrt {6}})\in M$.

• Kommutativität bezüglich +: $\forall \,a,b\,\in M$ gilt$\colon \;a+b=b+a)$.

Da die Addition in $\mathbb {R}$ kommutativ ist, folgt daraus, dass $\left\langle M,+\right\rangle$ kommutativ ist.

$a+b=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {6}})+(b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {6}})=(b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {6}})+(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {6}})=b+a$.

• • $\implies$ Jetzt wissen wir, dass $\mathbf {\left\langle M,+\right\rangle }$ eine kommutative Gruppe mit neutralem Element (abelsche Gruppe) ist.

• • RING:

Wir prüfen jetzt die Abgeschlossenheit von $\left\langle M,\cdot \right\rangle$.

${\begin{aligned}a\cdot b&=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {6}})\cdot (b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {6}})=(a_{i}\cdot b_{i}+6\cdot (a_{w}\cdot b_{w}))+(a_{w}\cdot b_{i}+a_{i}\cdot b_{w})\cdot {\sqrt {6}}.\\[1ex]&(a_{i}\cdot b_{i}+6\cdot a_{w}\cdot b_{w})\in \mathbb {Q} \quad {\text{und }}\,(a_{w}\cdot b_{i}+a_{i}\cdot b_{w})\in \mathbb {Q} \implies a\cdot b\in M.\end{aligned}}$

D.h. das Produkt einer Multiplikation ist wieder in der Struktur $M$ enthalten $\implies$die Struktur $\left\langle M,\cdot \right\rangle$ ist abgeschlossen:

Assoziativität bezüglich $\mathbf {\cdot }$: $\forall \,a,b,c\,\in M$ gilt$\colon \;(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$

Da wir mit der Multiplikation aus $\mathbb {R}$ arbeiten, gilt natürlich die Assoziativität bezüglich $\mathbf {\cdot }$.

Wir können natürlich auch nachrechen die linke Seite und die rechte geht analog:

${\begin{aligned}{\text{LS}}\,\colon \;(a\cdot b)\cdot c&=((a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {6}})\cdot (b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {6}}))\cdot (c_{i}+c_{w}\cdot {\sqrt {6}})=\\&(a_{i}\cdot b_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {6}}\cdot b_{i}+a_{i}\cdot b_{w}\cdot {\sqrt {6}}+a_{w}\cdot {\sqrt {6}}\cdot b_{w}\cdot {\sqrt {6}})\cdot (c_{i}+c_{w}\cdot {\sqrt {6}})=\\&(a_{i}\cdot b_{i}\cdot c_{i}+6\cdot a_{w}\cdot b_{w}\cdot c_{i}+6\cdot a_{w}\cdot b_{i}\cdot c_{w}+6\cdot a_{i}\cdot b_{w}\cdot c_{w})+\\&(a_{w}\cdot b_{i}\cdot c_{i}+a_{i}\cdot b_{w}\cdot c_{i}+a_{i}\cdot b_{i}\cdot c_{w}+6\cdot a_{w}\cdot b_{w})\cdot c_{w})\cdot {\sqrt {6}}\end{aligned}}$

• Kommutativität bezüglich $\cdot$: Für alle Elemente $a,b\in M$ gilt$\colon :\,a\cdot b=b\cdot a$.

${\begin{aligned}a\cdot b=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {6}})\cdot (b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {6}})={\text{ KG in }}\mathbb {R} =(b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {6}})\cdot (a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {6}})=b\cdot a\end{aligned}}$

• Für das Distributivgesetze müssen folgende Eigenschaften gelten:

$\left.{\begin{aligned}a\cdot (b+c)&=a\cdot b+a\cdot c\\(a+b)\cdot c&=a\cdot c+b\cdot c\end{aligned}}\qquad \right\rbrace \qquad \forall \,a,b,c\in M.$

Natürlich gilt hier mit der Addition und Multiplikation in $\mathbb {R}$ das 1. und das 2.Distributivgesetz.

Die lange Variante:

${\begin{aligned}a\cdot (b+c)&=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {6}})\cdot ((b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {6}})+(c_{i}+c_{w}\cdot {\sqrt {6}}))=\\&=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {6}})\cdot ((b_{i}+c_{i})+(b_{w}+c_{w})\cdot {\sqrt {6}}))=\\&=a_{i}\cdot ((b_{i}+c_{i})+(b_{w}+c_{w})\cdot {\sqrt {6}})+a_{w}\cdot {\sqrt {6}}\cdot ((b_{i}+c_{i})+(b_{w}+c_{w})\cdot {\sqrt {6}})=\\&=a_{i}\cdot b_{i}+a_{i}\cdot c_{i}+a_{i}\cdot b_{w}\cdot {\sqrt {6}}+a_{i}\cdot c_{w}\cdot {\sqrt {6}}+a_{w}\cdot {\sqrt {6}}\cdot b_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {6}}\cdot c_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {6}}\cdot b_{w}\cdot {\sqrt {6}}+a_{w}\cdot {\sqrt {6}}\cdot c_{w}\cdot {\sqrt {6}}=\\&=a_{i}\cdot b_{i}+a_{i}\cdot c_{i}+a_{i}\cdot b_{w}\cdot {\sqrt {6}}+a_{i}\cdot c_{w}\cdot {\sqrt {6}}+a_{w}\cdot {\sqrt {6}}\cdot b_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {6}}\cdot c_{i}+6\cdot a_{w}\cdot b_{w}+6\cdot a_{w}\cdot c_{w}=\\&=b_{i}\cdot (a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {6}})+b_{w}\cdot (a_{i}\cdot {\sqrt {6}}+6\cdot a_{w})+c_{i}\cdot (a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {6}}+c_{w}\cdot (a_{i}\cdot {\sqrt {6}}+6\cdot a_{w})=\\&=b_{i}\cdot a+b_{w}\cdot (a_{i}\cdot {\sqrt {6}}+6\cdot a_{w})+c_{i}\cdot a+c_{w}\cdot (a_{i}\cdot {\sqrt {6}}+6\cdot a_{w})=\\&=b_{i}\cdot a+b_{w}\cdot {\sqrt {6}}\cdot (a_{i}\cdot +a_{w}\cdot {\sqrt {6}})+c_{i}\cdot a+c_{w}\cdot {\sqrt {6}}\cdot (a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {6}})=\\&=b_{i}\cdot a+b_{w}\cdot {\sqrt {6}}\cdot a)+c_{i}\cdot a+c_{w}\cdot {\sqrt {6}}\cdot )=\\&=a\cdot (b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {6}})+a\cdot (c_{i}+c_{w}\cdot {\sqrt {6}}\cdot )=\\&=a\cdot b+a\cdot c\end{aligned}}$

• Für den zweiten Teil $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$ nützen wir die kommutative Eigenschaften der Gruppe aus

$(a+b)\cdot c=c\cdot (a+b){\text{ wie oben bewiesen gilt das 1.Distributivgesetz }}=c\cdot a+c\cdot b=a\cdot c+b\cdot c$

• • Zusätze

• Einselement bezüglich $\cdot$: Gibt es ein neutrales Element $1\in R$ mit $\forall \,a\in M$ gilt$\colon \,\colon \;a\cdot 1=1\cdot a=a$.

Wir nehmen an, dass das Einselement von $\left\langle M,\cdot \right\rangle$ folgend ausschaut: $1=(1+0\cdot {\sqrt {6}})$.

$a=(a_{i}+aw\cdot {\sqrt {6}})\cdot (1+0\cdot {\sqrt {6}})=a_{i}\cdot 1+aw\cdot {\sqrt {6}}\cdot 1+0+0=a=1\cdot a_{i}+1\cdot aw\cdot {\sqrt {6}}+0+0=(1+0\cdot {\sqrt {6}})\cdot (a_{i}+aw\cdot {\sqrt {6}})$

• Kommutativität: haben wir schon gezeigt und verwendet.
  • $\implies$ Wir haben einen kommutativen Ring mit Einselement

• • Integritätsring

Ein kommutativer Ring mit Einselement ohne Nullteiler heißt Integritätsring.

• Nullteiler: Man nennt ein Element $a\neq 0$ eines Ringes $M$ Nullteiler, wenn es ein $b\neq 0$ aus $M$ gibt, so dass $a\cdot b=0$ oder $b\cdot a=0$ ist. Dieses $b$ ist damit natürlich auch ein Nullteiler. D.h ein Nullteiler wäre $a\cdot b=0\,$, obwohl beide Elemente $a,b\in M$ ungleich $0$ sind.

Wir haben oben bereits bewiesen, dass wir einen rein rationalen Anteil $a_{i}$ und einen rein reellen Anteil $a_{w}\cdot {\sqrt {6}}\,$ haben. Diese beiden Teile sind disjunkt mit der Ausnahme der $0$.

Die Grundfrage ist, in welchen Formen kann ich das Produkt zweier Zahlen $a=a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {6}}\,$ und $b=b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {6}}\,$, also $a\cdot b$ darstellen, um die Zahl $\mathbf {0}$ (das neutrale Element bezüglich $+$) als Produkt zu erhalten. Da wir hier eine saubere Aufteilung in $a_{i}\in \mathbb {Q}$ und $a_{w}\cdot {\sqrt {6}}\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \cup \{0\}$ haben und es nur einen Schnittpunkt, die $\mathbf {0}$ gibt, ist die einzige Darstellung von $0$, wenn $a_{i}=0$ und $a_{w}=0$ sind. D.h. es gibt keine Nullteiler.

Ein Beispiel für Nullteiler mit einer anderen Wurzel (${\sqrt {4}}\,$) mit $d=(1-0.5\cdot {\sqrt {4}}\,),\,(e_{i}+e_{w}\cdot {\sqrt {4}}\,){\text{ beliebig }}\in \mathbf {\mathbb {Q} [{\sqrt {4}}\,]} =\{\,a+b\cdot {\sqrt {\mathbf {4} \,}}\,\vert \,a,b\in \mathbb {Q} \,\}$ folgt. Hier können wir eine Auslöschung ($(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {4}}\,)=0$) des ersten rationalen Teils mit dem zweiten Wurzelteil erzielen. Bei der Multiplikation in $\mathbb {R}$ ist bekannt, dass $\,d\cdot e=0\iff d=0\,\lor \,e=0\quad \implies$

$d\cdot e=(1-0.5\cdot {\sqrt {4}}\,)\cdot e=(1-1)\,\cdot e=0\cdot e=\mathbf {0}$

D.h. obwohl $d=(1-0.5\cdot {\sqrt {4}})\neq 0=(0+0\cdot {\sqrt {4}})$ ist, ist das Produkt $d\cdot e=0$. D.h. die beiden Elemente $d,\,e$ sind beide Nullteiler.

$\implies$Zurück zur Aufgabe: Jetzt wissen wir bereits, dass $\left\langle M,+,\cdot \right\rangle$ ein Integritätsring ist

• • Körper

Ein kommutativer Ring $\left\langle M,+,\cdot \right\rangle$ mit Einselement $1\neq 0$, in dem jedes Element $a\neq 0$ eine Einheit ist, also ein multiplikatives Inverses besitzt, heißt ein Körper.

Wir versuchen nun die inversen Element zu einem beliebigen Element $a=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {6}})$ zu berechnen. Es muss gelten $a\cdot a^{-1}=(1+0\cdot {\sqrt {6}})$:

${\begin{aligned}1=a\cdot b&=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {6}})\cdot (b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {6}})=(a_{i}\cdot b_{i}+6\cdot a_{w}\cdot b_{w})+(a_{i}\cdot b_{w}+a_{w}\cdot b_{i})\cdot {\sqrt {6}})\implies \\[1ex]&\implies {\text{es muss gelten }}\colon \,a_{i}\cdot b_{i}+6\cdot a_{w}\cdot b_{w})=1\quad \land \quad (a_{i}\cdot b_{w}+a_{w}\cdot b_{i})=0\implies \\[1ex]&\implies b_{w}={\frac {(-a_{w})\cdot b_{i}}{a_{i}}}\qquad (a_{i}\neq 0)\quad \land \quad a_{i}\cdot b_{i}+6\cdot a_{w}\cdot {\frac {-a_{w}\cdot b_{i}}{a_{i}}}=1\implies \\[1ex]&\implies b_{i}\cdot {\frac {a_{i}^{2}+6\cdot a_{w}\cdot (-a_{w})}{a_{i}}}=1\implies \color {green}{b_{i}={\frac {a_{i}}{a_{i}^{2}-6\cdot a_{w}^{2}}}}\color {black}\quad \land \quad \color {green}b_{w}={\frac {-a_{w}}{a_{i}^{2}-6\cdot a_{w}^{2}}}\color {black}\end{aligned}}$

Sonderfälle $a_{i}=0$ und $a_{i}^{2}-6\cdot a_{w}^{2}=0$ (wir haben oben durch $a_{i}$ und $a_{i}^{2}-6\cdot a_{w}^{2}\,$dividiert)

$(x^{2}-y^{2}=(x-y)\cdot (x+y))\implies a_{i}^{2}-6\cdot a_{w}^{2}=(a_{i}-a_{w}\cdot {\sqrt {6}})\cdot (a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {6}})$:

• $a_{i}=0\,,$

${\begin{aligned}1=a\cdot b&=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {6}})\cdot (b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {6}})=6\cdot a_{w}\cdot b_{w}+a_{w}\cdot b_{i}\cdot {\sqrt {6}}\implies \\&\implies {\text{es muss gelten }}\colon \,6\cdot a_{w}\cdot b_{w}=1\quad \land \quad a_{w}\cdot b_{i}\cdot {\sqrt {6}}=0\\&\implies \quad b_{i}=0\quad \land \quad b_{w}={\frac {1}{6\cdot a_{w}}}\end{aligned}}$

• $a_{i}-a_{w}\cdot {\sqrt {6}}=0\,,\quad$ der erste Teil ist rational, der zweite Teil ist reell $\implies$ der Ausdruck kann nur bei $a_{i}=a_{w}=0$ den Wert $0$ annehmen.
• $a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {6}}=0\,,\quad$ der erste Teil ist rational, der zweite Teil ist reell $\implies$ der Ausdruck kann nur bei $a_{i}=a_{w}=0$ den Wert $0$ annehmen.

Probe:

${\begin{aligned}a&=(2+3\cdot {\sqrt {6}}),\quad \,&&b=(-2/50+3/50\cdot {\sqrt {6}}),\quad &&a\cdot b=(-4/50+54/50)+(-6/50+6/50)\cdot {\sqrt {6}})=(1+0\cdot {\sqrt {6}})=1\\a&=(0+3\cdot {\sqrt {6}}),\quad \,&&b=(0+{\frac {1}{18}})\cdot {\sqrt {6}}),\quad &&a\cdot b=(3\cdot {\sqrt {6}}\cdot {\frac {1}{18}}{\sqrt {6}})={\frac {18}{18}}=(1+0\cdot {\sqrt {6}})=1\end{aligned}}$

$\implies$

Jetzt wissen wir, dass $\left\langle M,+,\cdot \right\rangle$ ein Körper ist.