TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 415

Untersuchen Sie, ob die folgenden Strukturen Ringe, Integritätsringe bzw. Körper sind:

M = {0, 1} mit der Addition modulo 2 und dem Produkt a · b = 0 für alle a, b ∈ M

Lösungsvorschlag von Tabaluga34 / UnHold

Abgeschlossenheit der beiden Operationen kann leicht durch eine Operationstafel gezeigt werden.

+	0	1
0	0	1
1	1	0

*	0	1
0	0	0
1	0	1

Assoziativität

(+):

(a + b) + c = a + b + c = a + (b + c)

(*):

(a * b) * c = a * b * c = a * (b * c)

Neutrales Element

(+):

a + e = e + a = a -> e = 0

(*):

a * e = e * a = a -> e = 1

Inverses Elemente:

(+):

a + a^(-1) = e -> funktioniert für alle Elemente (0 + 0 = 0 / 1 + 1 = 0) (Achtung modulo 2)

(*):

a * a^(-1) = e -> funktioniert nicht für alle Elemente (Bsp: 0 * 0 = 0 / 1 * 0 = 0 (Fehler))

Kommutativ:

(+):

a + b = b + a

(*):

Nicht nötig, da keine inversen Elemente existieren

-> Folglich handelt es sich bei dieser Struktur um einen Integritätsring, da keine Multiplikation zweier von Null verschiedener Elemente 0 ergeben (Nullteiler) (Siehe Operationstafel *).

Meiner Meinung nach falsch:

-> es existieren zwei "mögliche neutrale Elemente", 0 & 1, daher gibt es kein neutrales Element

-> von daher auch kein Integritätsring, da kein Einselement vorhanden (obwohl Kommutativität und Nullteilerfreiheit gegeben ist)

-> ist bloß ein Ring