Untersuchen Sie, ob die folgenden Strukturen Ringe, Integritätsringe bzw. Körper sind:
mit der Addition
und der Multiplikation modulo
.
![{\displaystyle (M,+):}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=92366600d298f6db14c7275f5dacf9f5&mode=mathml)
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Aus der Tabelle lässt sich herauslesen:
![{\displaystyle \Rightarrow Abgeschlossenheit}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=93ba5317ae84fd99cfec413c515b28b0&mode=mathml)
![{\displaystyle \Rightarrow Kommutativitaet}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=8792778362b21e5551f8930c7eac51e6&mode=mathml)
"EINWAND:" 1 ist doch nicht das neutrale Element, oder irre ich mich? 0 verknüpft mit 1 ergibt nicht wieder 0, sondern 1! 0 sollte das neutrale Element sein. Folglich besitzt 1 kein additives inverses, deshalb kann man bei (M, +) gar nicht von einer Gruppe sprechen, geschweige denn bei (M, +, *) von einem (Integritäts-)ring.
![{\displaystyle ({\overline {0}})^{-1}={\overline {1}},({\overline {1}})^{-1}=1\Rightarrow Inversion}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=e2f210ba43b546414c8668811d21a667&mode=mathml)
![{\displaystyle (0+1)+1=0+(1+1)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=887e5a8054d207d732dacfd8da5b09ac&mode=mathml)
![{\displaystyle 1+1=0+1}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=b4dd2bf1093275a8676a2b84846c7939&mode=mathml)
![{\displaystyle 1=1\Rightarrow Assoziativitaet}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=2162b06763d17ab1e417ea65d2660364&mode=mathml)
![{\displaystyle (M,+){\widehat {=}}abelsche\,Gruppe}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=87d8bdfde87666fd86f0262ca9231bd2&mode=mathml)
Edit: Das neutrale Element der Addition ist ja 0. Daher existiert ja kein inverses Element für 1, da 1 verknüpft mit 0 bzw. 1 nie 0 ergibt.
![{\displaystyle (M,*):}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=fa513f1439c16e4c25424bbd1f43ca34&mode=mathml)
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![{\displaystyle \Rightarrow Abgeschlossenheit}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=93ba5317ae84fd99cfec413c515b28b0&mode=mathml)
![{\displaystyle \Rightarrow Kommutativitaet}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=8792778362b21e5551f8930c7eac51e6&mode=mathml)
![{\displaystyle e={\overline {1}}\Rightarrow neutrales\,Element}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=39579d9c01e1f09970938ee7211c3b67&mode=mathml)
![{\displaystyle \nexists a\in M\mid {\overline {0}}*a={\overline {1}}\Rightarrow keine\,Inversion}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=17dd50b934be439530ad9a2f25d55ce3&mode=mathml)
![{\displaystyle (0*1)*1=0(1*1)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=40cdc5705cde6b45078baa7b2a2f5e4c&mode=mathml)
![{\displaystyle 0*1=0*1}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=822e7d8a8f2e2da03e6d2706e5557fe9&mode=mathml)
![{\displaystyle 0=0}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=7bb9d941d22396f1ddf635a5cc656c77&mode=mathml)
![{\displaystyle \Rightarrow Assoziativitaet}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=4695a91797aebbbe19b7981c163b48b2&mode=mathml)
![{\displaystyle (M,*){\widehat {=}}kommutatives\,Monoid}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=e15d3289bba483021cf104fba9eeb1d5&mode=mathml)
![{\displaystyle \forall a\neq 0,b\neq 0\in M\mid a*b\neq 0\Rightarrow Nullteilerfreiheit}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=529b24bc94ac0728eb2cd2a32c8d9882&mode=mathml)
![{\displaystyle {\overline {0}}*({\overline {1}}+{\overline {1}})={\overline {0}}*{\overline {1}}+{\overline {0}}*{\overline {1}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=0af3a8c0bcdf0e9da4346b1276d73ea9&mode=mathml)
![{\displaystyle {\overline {0}}*{\overline {1}}={\overline {0}}+{\overline {0}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=f35c0f7938eeeab3572f4a1534df364c&mode=mathml)
![{\displaystyle {\overline {0}}={\overline {0}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=70f93e24d26cb494f045936383f2b9a9&mode=mathml)
![{\displaystyle {\overline {1}}*({\overline {0}}+{\overline {1}}={\overline {1}}*{\overline {0}}+{\overline {1}}*{\overline {1}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=d0359c2eead11b1613f82affd2c531a7&mode=mathml)
![{\displaystyle {\overline {1}}*{\overline {1}}={\overline {0}}+{\overline {1}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=7d908c505d9a0eceaad922fe111b83b2&mode=mathml)
![{\displaystyle {\overline {1}}={\overline {1}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=cd286f2a7954b87ac8eaea6eaa5f49c7&mode=mathml)
![{\displaystyle \Rightarrow Distributitvitaet}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=23c2e9c7aa513dadc1f56cba0551f339&mode=mathml)