TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 419

Untersuchen Sie, ob die folgenden Strukturen Ringe, Integritätsringe bzw. Körper sind: $M=\{0,1\}$ mit der Addition $0+0=0,0+1=1+0=1,1+1=1,$ und der Multiplikation modulo $2$.

Lösungsvorschlag von neo

$(M,+):$

$+$	${\overline {0}}$	${\overline {1}}$
${\overline {0}}$	${\overline {0}}$	${\overline {1}}$
${\overline {1}}$	${\overline {1}}$	${\overline {1}}$

Aus der Tabelle lässt sich herauslesen:
$\Rightarrow Abgeschlossenheit$
$\Rightarrow Kommutativitaet$
$e={\overline {1}}\Rightarrow neutrales\,Element$

"EINWAND:" 1 ist doch nicht das neutrale Element, oder irre ich mich? 0 verknüpft mit 1 ergibt nicht wieder 0, sondern 1! 0 sollte das neutrale Element sein. Folglich besitzt 1 kein additives inverses, deshalb kann man bei (M, +) gar nicht von einer Gruppe sprechen, geschweige denn bei (M, +, *) von einem (Integritäts-)ring.

$({\overline {0}})^{-1}={\overline {1}},({\overline {1}})^{-1}=1\Rightarrow Inversion$

$(0+1)+1=0+(1+1)$
$1+1=0+1$
$1=1\Rightarrow Assoziativitaet$

$(M,+){\widehat {=}}abelsche\,Gruppe$

Edit: Das neutrale Element der Addition ist ja 0. Daher existiert ja kein inverses Element für 1, da 1 verknüpft mit 0 bzw. 1 nie 0 ergibt.

$(M,*):$

$*$	${\overline {0}}$	${\overline {1}}$
${\overline {0}}$	${\overline {0}}$	${\overline {0}}$
${\overline {1}}$	${\overline {0}}$	${\overline {1}}$

$\Rightarrow Abgeschlossenheit$
$\Rightarrow Kommutativitaet$
$e={\overline {1}}\Rightarrow neutrales\,Element$
$\nexists a\in M\mid {\overline {0}}*a={\overline {1}}\Rightarrow keine\,Inversion$

$(0*1)*1=0(1*1)$
$0*1=0*1$
$0=0$
$\Rightarrow Assoziativitaet$

$(M,*){\widehat {=}}kommutatives\,Monoid$

$\forall a\neq 0,b\neq 0\in M\mid a*b\neq 0\Rightarrow Nullteilerfreiheit$
${\overline {0}}*({\overline {1}}+{\overline {1}})={\overline {0}}*{\overline {1}}+{\overline {0}}*{\overline {1}}$
${\overline {0}}*{\overline {1}}={\overline {0}}+{\overline {0}}$
${\overline {0}}={\overline {0}}$
${\overline {1}}*({\overline {0}}+{\overline {1}}={\overline {1}}*{\overline {0}}+{\overline {1}}*{\overline {1}}$
${\overline {1}}*{\overline {1}}={\overline {0}}+{\overline {1}}$
${\overline {1}}={\overline {1}}$
$\Rightarrow Distributitvitaet$

$(M,+,*){\widehat {=}}Integritaetsring$